Конкурсная задача ММ260 (12 баллов)

Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231

Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если
AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;
треугольник KLM подобен треугольнику ABC.
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова, Анатолия Казмерчука и авторское.

Обсуждение

ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.
Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, «месть» удалась.

Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний. Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.

В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны). Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.

Награды

За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 13
Денис Овчинников - 13
Константин Шамсутдинов - 12
Виктор Филимоненков - 11
Владислав Франк - 10

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов