— |
marathon:problem_260 [2021/03/10 21:57] (текущий) letsko создано |
| ===== ММ260 ===== |
| **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) |
| |
| __Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ |
| |
| Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ |
| AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ |
| треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ |
| Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm260_val.pdf|авторское}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ |
| Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась. |
| |
| Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний. |
| Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше. |
| |
| В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). |
| Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны). |
| Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь. |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Анатолий Казмерчук - 13\\ |
| Денис Овчинников - 13\\ |
| Константин Шамсутдинов - 12\\ |
| Виктор Филимоненков - 11\\ |
| Владислав Франк - 10\\ |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** |
| ---- |
| |
| |