Конкурсная задача ММ263 (4 балла)

Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?

([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Мераба Левиашвили и Влада Франка.

Обсуждение

Задача ММ263, с одной стороны, не вызвала затруднений конкурсантов, а с другой - не слишком им понравилась. Возможно, именно по этой причине, большинство марафонцев не попытались обобщить задачу (а если бы бы попытались, возможно, задача понравилась им больше).
Лишь двое участников взялись за исследование более общего уравнения [ax]{x} – [x]{ax} = c. Анатолий Казмерчук ограничился рассмотрением натуральных a. Уже для этого случая максимальное количество решений (при ненулевом c) ведет себя довольно интересно. С ростом a оно ожидаемо растет, но не монотонно.
Мераб Левиашвили пошел дальше. Он рассмотрел (не то чтобы изучил, но затронул) случаи рационального и даже произвольного вещественного a. Уже в первом из них в области определения можно выделить участки, на которых функция функция f(x)= [3x]{x} – [x]{3x} монотонно убывает при положительном a (при натуральных a такое невозможно).
И уж совсем сложно функция f(x) ведет себя при иррациональных a.

Награды

За решение задачи ММ263 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Анатолий Казмерчук - 5;
Олег Полубасов - 4;
Денис Овчинников - 4;
Виктор Филимоненков - 4;
Владислав Франк - 4;
Константин Шамсутдинов - 4;
Александр Романов - 4;
Владимир Дорофеев - 4;
Василий Дзюбенко - 4.

Эстетическая оценка задачи - 3.5 балла