Конкурсная задача ММ267 (7 баллов)

Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), Анатолия Казмерчука и Александра Романова.

Обсуждение

В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?!
Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются реже, чем представления второго. Ведь именно «реже» (а отнюдь не «не чаще») является обратным бинарным отношением к отношению «чаще». Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.
Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.
В результате ведущему вновь пришлось прибегать к «соломонову решению». Точнее, к решению мудреца из анекдота, который заверил каждого из спорщиков, что он прав. Правы и те, кто считает, что Петя прав, и те, что полагает, что он не прав, и те, кто рассмотрел оба подхода, и те (нашлись и такие дипломаты), кто не упомянул вопрос о Петиной правоте в своем решении. Главное, чтобы в решении было показано, что представлений каждого вида поровну.

В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы.

Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил.

Награды

За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Мераб Левиашвили - 9;
Василий Дзюбенко - 7;
Денис Овчинников - 7;
Владислав Франк - 7;
Александр Романов - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Олег Полубасов - 7;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла