Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ268

Конкурсная задача ММ268 (9 баллов)

Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?

Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова (для поклонников сестры таланта), Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса.

Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой).

Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.

Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.
Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три… представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-)

Награды

За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 12;
Анатолий Казмерчук - 11;
Владислав Франк - 10;
Василий Дзюбенко - 9;
Денис Овчинников - 9;
Александр Романов - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Виктор Филимоненков - 9;
Олег Полубасов - 9;
Владимир Дорофеев - 9;
Михаил Ватник - 9.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_268]]

marathon/problem_268.txt · Последние изменения: 2021/05/16 08:33 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006