Конкурсная задача ММ40 (4 балла)

Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосхдящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение?

Решение

Решение задачи ММ40

Поставим тетраэдр на плоскость и будем перекатывать его, замостив всю плоскость правильными треугольниками со стороной 1 метр. Связав с начальным положением основания тетраэдра аффинный репер, получим на плоскости косоугольную систему координат, в которой точки с целыми координатами будут соответствовать вершинам тетраэдра (см. рисунок, который я с благодарностью позаимствовал у Ивана Козначеева)

Путь мухи пролегает внутри угла в 60 градусов, вершина которого находится в одном из узлов образовавшейся решетки. В силу соображений симметрии можно ограничиться рассмотрением лишь половины этого угла. Таким образом, достаточно рассматривать точки M(x;y) такие, что 0 < y ⇐ x. Учитывая, что расстояние от начала пути до точки M равно sqrt(x² + xy + y²), и что муха проползла не более 10 метров, получаем еще одго ограничение: x² + xy + y² ⇐ 100. Узлов решетки, координаты которых удовлетворяют всем приведенным ограничниям, совсем немного. Поэтому перебором легко найти единственный случай, когда x² + xy + y² будет квадратом целого числа. Это выполняется при x = 5, y = 3 (Точка D' на рисунке). А соответствующее расстояние равно 7.

Ответ на второй вопрос задачи проще всего получить, аккуратно нарисовав часть нашей треугольной сетки и путь мухи из вершины A(0:0) в вершину D'(3:5). Пронумеровав треугольники сетки числами от 1 до 4 (в зависимости от того, каким граням тетраэдра они соответствуют) убедимся, что муха побывала на грани, с которой начала свой путь, 4 раза.

Разумеется, можно провести и более строгое рассуждение. Например, такое: Точки B'(5;2) и C'(4;3) являются соседними в нашей треугольной сетке. Сравнивая угловые коэффициенты 2/5 < 3/5 < 3/4, убеждаемся, что муха пересекла ребро B'C'. Рассматривая аналогично другие пары смежных вершин (на рисунке они помечены жирными черными точками), не трудно выяснить (и обосновать), на каких гранях и сколько раз побывала муха.

Обсуждение

Легко видеть, что 7 - не единственное целое число метров, которое могла проползти муха, прежде чем вновь оказалась в вершине. Квадрат расстояния от начальной точки, до произвольной вершины треуголной сетки d(x,y) = x² + xy + y² (1) Таким образом, нас интересуют представления квадратов натуральных чисел целочисленной квадратичной форммой (1). При этом можно считать, что обе координаты положительны (муха ползет не по ребру) и что числа x и y взаимно просты (в противном случае на пути мухи ранее уже встречалась вершина, а после такой встречи дальнейший маршрут мухи условиями задачи не определен). Теория представления чисел квадратичными формами от двух переменных хорошо известна (см., например, А.А. Бухштаб. Теория чисел. Гл. 31). В частности форма (1) допускает примитивные представления числа n² в том и только в том случае, когда в каноническом разложении n присутствуют только простые множители вида 6k+1. Причем количество таких представлений (удовлетворяющих принятым нами ограничениям) равно 2s-1, где s - число различных простых множителей в разложении n.

Награды

За правильное решение этой задачи Мигель Митрофанов, Иван Козначеев, Алекесей Бурдин, Влад Франк и Маша Никулина получают по 4 призовых балла.

---