|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ55Конкурсная задача ММ55 (7 баллов) Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл) Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов). Решение 1. Тетраэдр разобьется на 14 частей. Четыре части, примыкающие к вершинам, будут параллелепипедами. Четыре части, примыкающие к граням - тетраэдрами, подобными исходному. Оставшиеся шесть частей будут примыкать к ребрам. Название этих многогранников мне не известно. Каждый из них будет иметь 6 граней (2 трапеции, 2 параллелограмма и 2, треугольника), 7 вершин и 11 ребер. Представить себе эти многогранники проще всего так: берем точку на ребре тетраэдра (не нашего, а вообще) и отсекаем от исходного тетраэдра два меньших плоскостями, параллельными граням, не содержащим выбранную точку.
2. Пусть V - объем данного тетраэдра ABCD, а x, y, z и t - отношения, в которых делятся секущими плоскостями высоты тетраэдра (считая от основания), проведенные из вершин A, B, C и D, соответственно. Oбсуждение Ответ на первый вопрос задачи легко обобщается на любое число измерений. А именно: n+1 гиперплоскость, проведенная внутри n-мерного симплекса параллельно его n-1-мерным граням, разбивает симплекс на 2n+1 -2 частей. То что для трехмерного случая ответ на второй вопрос задачи является кубом ответа на первый вопрос - совпадение и не переносится на другие размерности.
Зато формулы для объемов частей в некотором смысле переносимы на любую размерность. А именно, n-мерные объемы «кусков» n-мерного симплекса получаются после раскрытия скобок и должной группировки из соотношения: Награды За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков получает 8 призовых баллов, а Влад Франк и Иван Козначеев - по 7 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|