Конкурсная задача ММ55 (7 баллов)

Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл) Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов).

Решение задачи ММ55

Решение

1. Тетраэдр разобьется на 14 частей. Четыре части, примыкающие к вершинам, будут параллелепипедами. Четыре части, примыкающие к граням - тетраэдрами, подобными исходному. Оставшиеся шесть частей будут примыкать к ребрам. Название этих многогранников мне не известно. Каждый из них будет иметь 6 граней (2 трапеции, 2 параллелограмма и 2, треугольника), 7 вершин и 11 ребер. Представить себе эти многогранники проще всего так: берем точку на ребре тетраэдра (не нашего, а вообще) и отсекаем от исходного тетраэдра два меньших плоскостями, параллельными граням, не содержащим выбранную точку.

2. Пусть V - объем данного тетраэдра ABCD, а x, y, z и t - отношения, в которых делятся секущими плоскостями высоты тетраэдра (считая от основания), проведенные из вершин A, B, C и D, соответственно.
Легко убедиться, что x + y + z + t = 1. Объемы четырех параллелепипедов, примыкающих к вершинам исходного тетраэдра:
V_A = 6Vyzt;
V_B = 6Vxzt;
V_C = 6Vxyt;
V_D = 6Vxyz.
Объемы тетраэдров, примыкающих к граням:
V_ABC = Vt³;
V_ABD = Vz³;
V_ACD = Vy³;
V_BCD = Vx³.
Объемы шестигранников, примыкающих к ребрам:
V_AB = V(1-x-y)³ - Vz³ - Vt³ = 3V(z+t)zt;
V_AC = 3V(y+t)yt;
V_AD = 3V(y+z)yz;
V_BC = 3V(x+t)xt;
V_BD = 3V(x+z)xz;
V_CD = 3V(x+y)xy.
Не сложно показать, все 14 объемов будут рациональны тогда и только тогда, когда будут рациональны V, x, y, z, t.
Ясно, что числа x, y, z, t должны быть попарно различны, иначе среди 14 частей найдутся равновеликие.
Наименьший общий знаменатель четырех положительных попарно различных рациональных чисел, дающих в сумме единицу, равен 10. Поэтому первый набор «кандидатов»: x = 1/10, y = 1/5, z = 3/10, t = 2/5, V = 10³.
Однако непосредственная подстановка в вышеприведенные формулы показывает, что для этого случая V_A = V_AC и V_D = V_BD. Аналогичная картина имеет место и для наборов:
1/11, 2/11, 3/11, 5/11, 11³;
1/12, 1/6, 1/4, 1/2, 12³;
1/12, 1/6, 1/3, 5/12, 12³;
1/13, 2/13, 3/13, 7/13, 13³;
1/13, 2/13, 4/13, 6/13, 13³;
1/13, 3/13, 4/13, 5/13, 13³.
А вот для набора x = 1/14, y = 1/7, z = 5/14, t = 3/7, V = 14³ объемы всех частей целочисленны и попарно различны:
V_A = 360;
V_B = 180;
V_C = 72;
V_D = 60;
V_ABC = 216;
V_ABD = 125;
V_ACD = 8;
V_BCD = 1;
V_AB = 990;
V_AC = 288;
V_AD = 210;
V_BC = 126;
V_BD = 90;
v_CD = 18.
А объем всего тетраэдра (и ответ задачи) - V = 14³ = 2744.

Oбсуждение

Ответ на первый вопрос задачи легко обобщается на любое число измерений. А именно: n+1 гиперплоскость, проведенная внутри n-мерного симплекса параллельно его n-1-мерным граням, разбивает симплекс на 2ⁿ⁺¹ -2 частей.

То что для трехмерного случая ответ на второй вопрос задачи является кубом ответа на первый вопрос - совпадение и не переносится на другие размерности.

Зато формулы для объемов частей в некотором смысле переносимы на любую размерность. А именно, n-мерные объемы «кусков» n-мерного симплекса получаются после раскрытия скобок и должной группировки из соотношения:
V = V(x₁ + x₂ + … + x_n+1)ⁿ, где x₁, x₂, …, x_n+1 - отношения, в которых делятся (считая от основания) секущими гиперплоскостями высоты симплекса.

Награды

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков получает 8 призовых баллов, а Влад Франк и Иван Козначеев - по 7 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла

---