|
||||||||||||||||||
|
Содержание65Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача №65 (Л-3) (5 баллов)
Математик С предложил математикам А и В такую загадку: Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел. Что это за числа? Решение Выпишем все числа, не превосходящие 50, допускающие более одного представления в виде произведения трех попарно различных натуральных чисел. В квадратных скобках после каждого числа перечислим возможные суммы и отметим знаком »+» те из них, для которых проходит первая реплика В. 12 [9, 8+] 18 [12, 10+] 20 [13, 10+] 24 [15+, 12, 11, 9] 28 [17, 12] 30 [18, 14+, 12, 10+] 32 [19, 13] 36 [21+, 16+, 14+, 11] 40 [23, 15+, 14+, 11] 42 [24, 18, 14+, 12] 44 [25, 15+] 45 [19, 15+] 48 [27+, 20, 17, 15+, 13, 12] 50 [28, 16+]
Вторая реплика А возможна лишь для тех произведений, для которых не менее двух
сумм помечено плюсом (если плюсом помечена всего одна сумма, то А уже знал бы
загаданные числа, а если сумм, помеченных плюсом нет вовсе, то такое число не
могло быть загаданным произведением). 30 [14, 10] 36 [21, 16, 14] 40 [15, 14] 48 [27, 15]
На основании второй реплики В удалим те суммы, которые уникальны в оставшихся
вариантах. 30 [14] 36 [14] 40 [14, 15] 48 [15] Если бы произведение загаданных чисел равнялось 40, А не смог бы определить загаданные числа после второй реплики В. Раз А смог определить их, значит остались варианты: 30 [14] 36 [14] 48 [15] Если бы B знал число 14, то он не смог бы определить загаданные числа и после третьей реплики А. Но он определил их. Значит, произведение загаданных чисел равно 48, а сумма - 15. Ну а сами числа - 1, 6 и 8. Ответ: 1, 6, 8. Обсуждение
Андрей Богданов просчитал, как изменится задача, если число 50 в ограничении
«произведение не превосходит 50» заменить на другое, не превосходящее 200.
Картина получилась следующая: Награды
За правильное решение задачи № 65 Сергей Аракчеев, Андрей Богданов,
Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов,
Мария Рыкалина, Влад Франк, Виктор Филимоненков, Олег Чечулин получают
по 5 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|