|
||||||||||||||||||
|
Содержание№68
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача №68 (5 баллов)
1. Доказать, что для любого натурального n найдется натуральное k такое, что
Примечания: Решение Лемма 1: F(m) = F(m-1) + F(m-2) = F(t+1)*F(m-t) + F(t)*F(m-t-1)
Доказательство. Лемма 2: F(n*s) кратно F(n)
Докажем эту лемму индукцией по s. 1. На основании леммы 2 числа F((n+1)!+2), F((n+1)!+3),…, F((n+1)!+n+1) являются составными при n>1.
2. Ответ - 5. Обсуждение Начиная с 5, среди номеров десяти идущих подряд чисел Фибоначчи не может быть более 4 простых (остальные номера оканчиваются четной цифрой или пятеркой). Поэтому приведенными в решении пятерками исчерпываются все пятерки простых чисел, встречающиеся среди десяти идущих подряд чисел Фибоначчи. На основании леммы 2 можно убедиться, что в каждой десятке идущих подряд чисел Фибоначчи встречается не менее: 3 четных чисел; двух чисел, кратных 3; двух чисел, кратных 5; одного числа, кратного 13; одного числа, кратного 7; одного числа, кратного 17; одного числа, кратного 11. Награды За правильное решение этой задачи Сергей Аракчеев, Андрей Бежан, Сергей Беляев, Евгений Машеров, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков и Влад Франк получают по 5 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|