Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№69

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Завершающая задачка мини-конкурса логических задач, так же как и задачка, открывающая конкурс, футбольная.

Конкурсная задача №69 (Л-5) (8 баллов)

Мистер Жонсонд увидел в газете итоговую таблицу однокругового футбольного турнира:

О РМ
1.Честерман 11 8-0
2.Елсич 11 7-2
3.Пулливер 9 4-0
4.Сеналар 6 2-10
5.Тонбол 3 8-9
6.Бернблэк 1 1-9

Мистер Жонсонд попытался восстановить по этим данным турнирную таблицу, но ему не удалось сделать это в полном объеме. И тут он обнаружил, что в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей, сыгранных «Честерманом».
После этоо мистер Жонсонд сумел восстановить таблицу полностью. Попробуйте и Вы последовать его примеру.

Пpимечания:
в колонке «О» указано количество очков, набpанных каждой командой;
в колонке «РМ» чеpез дефис указано суммаpное количество забитых и пpопущенных командой голов;
за победу команде начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко.

Решение

Команды, набравшие по 11 очков могли сделать это лишь одним способом - выиграв по 3 матча и завершив оставшиеся встречи вничью.
«Пулливер» набрал 9 очков, победив в двух встречав и сведя остальные вничью (9 очков не не могли образоваться в результате трех побед, так как в этом случае у «Пулливера» было бы два поражения, но у него нет пропущенных мячей). Единственное очко «Бернблэка» начислено за ничью.
Итого имеем (2+2+3+1)/2 = 4 ничьих.
В матче, где одна из команд выиграла, разыгрывается 3 очка, а в ничейном - 2 Поскольку все команды набрали в 15 матчах 41 очко и 41 = 4*2 + 9*3, больше ничьих быть не может.
Значит, «Сеналар» одержал две победы, а остальные встречи проиграл, а «Тонбол» выиграл лишь один матч и проиграл остальные.

Ясно, что «Честерман», «Елсич» и «Пулливер» сыграли вничью все встречи между собой (у этих команд нет поражений).
Оставшаяся ничья приходится на матч «Пулливер»-«Бернблэк».
Поскольку в каждом матче, завершившимся мирным исходом, участвовала по крайней мере одна команда, не пропустившая ни одного гола, все ничейные встречи закончились со счетом 0:0.

Поскольку «Сеналар» забил всего 2 гола, обе его победы (очевидно, над «Тонболом» и «Бернблэком) одержаны со счетом 1:0. Остальные встречи «Сеналара» проиграны «под ноль».

Подведем промежуточный итог наших рассуждений, частично заполнив таблицу:

1 2 3 4 5 6 BHПO PM
1.ЧестерманXXX0:00:0 :0 :0 :0320118-0
2.Елсич 0:0XXX0:0 :0 320117-2
3.Пулливер 0:00:0XXX :0 :00:02309 4-0
4.Сеналар 0: 0: 0: XXX1:01:02036 2-10
5.Тонбол 0: 0: 0:1XXX 1043 8-9
6.Бернблэк 0: 0:00:1 XXX0141 1-9

Докажем, что «Бернблэк» уступил «Честерману» и «Елсичу» с одинаковым счетом 0:1. Если бы это было не так, он пропустил бы в матче с «Тонболом» не более 5 мячей. Но тогда «Тонбол» не мог забить 8 мячей («Елсич» пропустил всего 2 мяча, а остальные соперники «Тонбола» в матчах с ним не пропускали). Значит, «Бернблэк» уступил «Тонболом» со счетом 1:6, а оба гола в ворота «Елсича» забиты «Тонболом».
С учетом этих рассуждений таблица принимает вид:

1 2 3 4 5 6 BHПO PM
1.ЧестерманXXX0:00:0 :0 :01:0320118-0
2.Елсич 0:0XXX0:0 :0 :21:0320117-2
3.Пулливер 0:00:0XXX :0 :00:02309 4-0
4.Сеналар 0: 0: 0: XXX1:01:02036 2-10
5.Тонбол 0: 2: 0: 0:1XXX6:11043 8-9
6.Бернблэк 0:10:10:00:11:6XXX0141 1-9

До этого места мистер Жонсонд мог добраться без дополнительной информации.

Оставшиеся матчи могли завершиться по-разному.
Всего имеется 6 вариантов окончательного заполнения таблицы:

I Сеналар Тонбол
Честерман 6:0 1:0
Елсич 1:0 5:2
Пулливер 3:0 1:0
II Сеналар Тонбол
Честерман 6:0 1:0
Елсич 2:0 4:2
Пулливер 2:0 2:0
III Сеналар Тонбол
Честерман 6:0 1:0
Елсич 3:0 3:2
Пулливер 1:0 3:0
IV Сеналар Тонбол
Честерман 5:0 2:0
Елсич 2:0 4:2
Пулливер 3:0 1:0
V Сеналар Тонбол
Честерман 5:0 2:0
Елсич 3:0 3:2
Пулливер 2:0 2:0
VI Сеналар Тонбол
Честерман 4:0 3:0
Елсич 3:0 3:2
Пулливер 3:0 1:0

Ясно, что мистер Жонсонд нашел в газете счет матча «Честермана» с «Сеналаром» или «Тонболом» (остальные он знал и так).
При этом только узнав, счет 4:0 против «Сеналара» или «3:0» против «Тонбола» мистер Жонсонд мог дозаполнить таблицу единственным образом.

Таким образом, окончательный вид таблицы:

1 2 3 4 5 6 BHПO PM
1.ЧестерманXXX0:00:04:03:01:0320118-0
2.Елсич 0:0XXX0:03:03:21:0320117-2
3.Пулливер 0:00:0XXX3:01:00:02309 4-0
4.Сеналар 0:40:30:3XXX1:01:02036 2-10
5.Тонбол 0:32:30:10:1XXX6:11043 8-9
6.Бернблэк 0:10:10:00:11:6XXX0141 1-9

Обсуждение

Как изменится решение, если во фразе из условия «И тут он обнаружил, что в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей, сыгранных 'Честерманом'.» поменять название команды?

Ясно, что замена «Честермана» на «Бернблэк» не приведет к однозначному ответу (мистер Жонсонд и без этого мог восстановить все счета «Бернблэка»).

Легко видеть, что, если бы мистер Жонсонд обнаружил в заметке счет одного из матчей «Елсича» или «Пулливера», задачка по-прежнему имела бы единственный ответ. Но эти ответы отличались бы друг от друга и от приведенного. Так, зная счет матча с участием «Елсича» мистер Жонсонд восстановил бы вариант I, а имея дополнительную информацию про «Пулливер» - вариант III.

Наконец, если бы мистер Жонсонд узнал счет одного из матей «Сеналара» или «Тонбола», он вполне мог бы однозначно восстановить таблицу. Но нам бы сделать этого не удалось - варианты I, III и VI оставались бы равноправными кандитатами на ответ.

К моему удивлению это задача (на мой взгляд, гораздо более красивая, чем задача 61) понравилась конкурсантам не больше чем предыдущая футбольная задачка. Возможно, так произошло именно потому что задача 69 была второй. Зато, оценивая эту задачу, участники были почти единодушны. В то же время, средняя оценка задачи 61 сложилась из совершенно полярных мнений.

Награды

За правильное решение этой задачи Сергей Беляев, Андрей Богданов, Стас Грицюк, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 8 призовых балловю Виталий Мусихин получает 7 призовых баллов, а Ольга Павлова - 4 балла.

Эстетическая оценка 3.5 - балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_69]]

marathon/problem_69.txt · Последние изменения: 2007/06/22 15:32 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006