Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№78

Конкурсная задача №78 (4 балла)

Квадрат разрезали на n квадратов. Сумма периметров этих квадратов оказалась в 3 раза больше периметра исходного квадрата. Конечно ли множество таких n, при которых возможна описанная ситуация?

Решение

Обозначим интересующее нас отношение через q. Очевидно, что q равно отношению суммы длин сторон квадратов разбиения (по одной на один квадрат) к стороне исходного квадрата (четверки в числителе и знаменателе сокращаются).

Разрежем квадрат со стороной 2m (m>1) на 2m квадратов: один - со стороной 2m-2 и 2m-1 - со стороной 2. Два малых квадрата полученного разбиения порежем на 4 части каждый. Получим разрезание исходного квадрата на n = 2m+6 квадратов, для которого q = (8*1 + (2m-3)*2 + 1*(2m-2))/2m = 3 при любом m, большем 1. Таким образом, множество интересующих нас n бесконечно.

Обсуждение

Кроме, приведенного в решении семейства, существует много других семейств разбиений с q = 3.

Такие разбиения можно построить для всех n, бОльших 8.

В самом деле, для каждого из n, меньших 9, существует не более одного разбиения (кроме, 8-ки, для которой существует два способа) и для всех таких разбиений q не дотягивает до 3.

Для четных n, начиная с 10, подходящие разбиения описаны в решении.

Для нечетных n, начиная с 13, подходит такая конструкция: Разбиваваем квадрат со стороной 4m на 2m квадратов: один со стороной 4m-4, и 2m-1 со стороной 4. Один из квадратов со стороной 4 режем не 4 квадрата, два из которых, в свою очередь режем еще на 4 квадрата каждый. Для полученного разбиения q = (8*1 + 2*2 + (2m-2)*4 + 1*(4m-4)/4m = 3.

Остаются случаи n = 9 и n = 11. Разбиение с q = 3 для n = 9 очевидно. Для n = 11 подходит разбиение квадрата со стороной 6 на 2 квадрата со стороной 3, 3 квадрата со стороной 2 и 6 квадратов со стороной 1.

Ситуация с q = 3 не уникальна. Для любого натурального s, большего 2, найдется бесконечно много n, допускающих разрезания с q = s: для s = 3 это уже доказано. Пусть s > 3. Как обычно, сначала разобьем квадрат со стороной 2m на 2m квадратов: один - со стороной 2m-2 и 2m-1 - со стороной 2. Теперь разрежем m+s-2 квадратов со стороной 2 на 4 квадрата каждый. И, наконец, разрежем квадрат со стороной 2m-2 на (s-3)2 одинаковых квадратов. Для полученного разбиения (а, оно возможно для любого m, большего s) q = (4*(m+s-2)*1 + ( (2m-1)-(m+s-2) )*2 + (s-3)*(2m-2))/2m = s.

Награды

За правильное решение этой задачи Анатолий Казмерчук, Галина Крюкова, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков, Владислав Франк и Константин Кноп получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_78]]

marathon/problem_78.txt · Последние изменения: 2019/07/04 14:06 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006