Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№79

Решение этой задачи учитываtтся дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача №79 (А-5) (4 балла)

Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?

[x] + {y} = [y]⋅{x}
x + y = n

Примечания:
[x] = floor(x) - целая часть (пол) x;
{x} = x - [x] - дробная часть x;
n - целочисленый параметр.

Решение

Прибавив к обеим частям первого уравнения по [y] + {x} и заменив x + y, возникающее в левой части, на n, получим
n = [y]⋅{x} + [y] + {x} или ([y]+1)⋅({x}+1) = n+1.

1. Пусть n = -1.
Тогда при [y] = -1 {x} может быть любым числом из полусегмента [0; 1) и решений бесконечно много.

2. Пусть n > -1.
Учитывая, что {x}+1 не меньше 1, но меньше 2, получаем (n-1)/2 < [y] ≤ n. Легко видеть, что на этом полуинтервале находится ровно [(n+2)/2] целых чисел, Каждое из которых соответствует одному решению системы.

3. n < - 1.
В этом случае имеем ([y]+1)⋅t = 1-|n|, где t, как и в предыдущем случае принадлежит полусегменту [1; 2). Следовательно, -|n| ≤ [y] < (-|n|-1)/2. Заметим, что на этом полусегменте лежат [|n|/2] целых чисел, Каждое из которых соответствует одному решению системы.

Объединяя 2-й и 3-й случаи, окончательно получаем
Ответ:
При n = -1 бесконечно много решений,
при остальных n - [(|n+1|+1)/2] решений.

Обсуждение

Эта задача оказалась неожиданно трудной из-за нюансов, возникающих при n < 0. Так, многие участники прозевали бесконечное множество в случае, когда n = -1. Поскольку этот случай был запланирован в качестве изюминки задачи, его потеря стоила марафонцам потери двух баллов.
Другая ошибка - неточная формула количества решений при n < -2. За этот промах я снимал один балл.
На мой призыв исправить ошибки (я поленился писать персональные письма, а публично сообщил лишь статистические сведения о числе ошибок) марафонцы отреагировали вяло, видимо посчитав, они-то уж точно попали в число двоих, приславших безошибочные решения.

Учитывая выявленную экспериментальным путем недооценку сложности задачи, я принял решение ставить оценку, исходя из шести, а не из четырех первоначально заявленных баллов. (Иначе могла получиться странная картина: при совершенно верном ходе решения участник мог получить всего один балл, недосчитавшись трех баллов за неточности в решении.)

Награды

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов. За верные по сути, но не лишенные неточностей решения: Владислав Франк получает 5 призовых баллов, Константин Кноп, Галина Крюкова и Олег Полубасов - по 4 призвых балла, Ефим Подвойский - 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_79]]

marathon/problem_79.txt · Последние изменения: 2015/09/19 08:57 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006