Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№81

Эта задача является одновременно Новогодним конкурсом, наподобие одного из тех, что проводил в свое время журнал «Наука и жизнь».

Конкурсная задача №81 (10 баллов)

Представить число 2008, используя знаки математических операций (+, -, *, :, ^), круглые скобки, десятичную точку, знак квадратного корня, факториал, а также по возможности наименьшее количество цифр:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 3;
5) 4;
6) 5;
7) 6;
8) 7;
9) 8;
10) 9;
Итого 10 представлений.

Примечания:
1. Участник конкурса получает один призовой балл, если его представление числа 2008 данными цифрами является рекордным, то есть никто из конкурентов не смог найти представления, мспользующего меньшее количество данных цифр (прочие разрешенные символы не учитываются).
2. Можно приписывать цифры друг к другу, получая при этом многозначные числа. Приписываение выражений (или цифр к выражениям) запрещено. Например, 22^2 - корректная запись числа 484, а запись 3!3 не является представлением числа 63.
3. Система счисления десятичная.
4. Отдельным пунктом подчеркну, что никакие символы, кроме явно оговоренных в условии, не допустимы. Так что, изящные фокусы типа «любое число тремя двойками» не проходят.

Решение и Обсуждение

Вышло так, что я сначала опубликовал условия конкурса, а лишь затем пристутил к поиску представлений числа 2008. А приступив, сразу стал натыкаться на некоторую неоднозначность в условии: круг разрешенных символов жестко описан, но не оговорены различные варианты использования этих символов, приводящие к допустимым но не общепринятым представлениям.
Например:
запись n!! часто (но не всегда) означает произведение всех натуральных чисел одной четности с n и не превосходящих n; запись .1 часто используют вместо 0.1.
Поскольку указанными примерами нестандартное использование разрешенных символов явно не исчерпывалось, я решил не уточнять условие, явно указывая границы применимости разрешеннных символов, а принял следующее «Соломоново решение»:
1) руководствоватьсья принципом «все, что не запрещено, разрешено»;
2) не лишать балла участников, получивших лучший резульат среди тех, кто не прибегал к «военным хитростям», даже если этот результат хуже полученного с привлечением «трюков».

Ниже приведены абсолютно наилучшие представления, полученные конкурсантами, а также наилучшие представления, основанные на исключительно стандартном использовании разрешенных символов.

0.
{((0!+0!+0!)!+0!)!}/{0!+0!} - (0!+0!)^{(0!+0!+0!)^{0!+0!}}



Итого 13 нулей.
Хитрое использование знаков не привело улучшению этого результата.

1.
(sqrt{1/{.(1)}} -.(1)-.1)*(sqrt{1/{.(1)}}!)!
Итого 6 единиц.
(1+1)^11 - (11+1)*sqrt{11.(1)}
Итого 10 единиц.

2.
sqrt{2^22} - 2*(22-2)
Итого 7 двоек.
Хитрое использование знаков не привело улучшению этого результата.

3.
{3-(.(3)+.3)/3}*(3!)!
Итого 5 троек.
(((3!)!+33)/3)*(3!:3)^3 или
(3!^3)*3*3+(3!:3)^{3!} или
3!*3!^3 + (3!)! - 3! -3!:3 или
333*3! + 3*3.(3)
Итого 7 троек.

4.
sqrt{sqrt{sqrt{4!-4}^{4!}}}/4 + 4!!
Итого 5 четверок.
sqrt{sqrt{sqrt{4^44}}} - 44 + 4 или
44^{sqrt{4}}+4!+4!+4!
Итого 6 четверок.

5.
{{(5+5)!}/{5!}-5!}/{5!!}
Итого 5 пятероок.
{{(5+5)!}/{5!}-5!}/{5+5+5}
Итого 7 пятерок.

6.
6!!*(6!!-6) - {6!!}/6
Итого 5 шестероок.
√{6^6}*6 + 6! - 6 - {6+6}/6
Итого 8 шестерок.

7.
(sqrt{7/{.(7)}}-{.(7)+.7}/7)*{7!}/7
Итого 7 семерок.
7*(7*(7*7-7)-7) - 7/7
Итого 8 семерок.

8.
{8!}/{sqrt{8+8}+8+8} - 8
Итого 6 восьмерок.
Хитрое использование знаков не привело лишь к повторению этого результата:
(sqrt{sqrt{(8/{.(8)})^{8/{.8}}}} + 8)*8




9.
(sqrt{9}-{.(9)+.9}/9)*(sqrt{9}!)!
Итого 5 девяток.
9*(sqrt{9}!^sqrt{9}) + {{sqrt{9}!}/{sqrt{9}}}^{sqrt{9}!} или
((sqrt{9}!)! - 9*sqrt{9}!) * sqrt{9} + 9.(9) или
({sqrt{9}!}^sqrt{9} + (sqrt{9})!)*9 + 9.(9) Итого 6 девяток.

Олег Полубасов предложил универсальный способ получения 2008 для любой ненулевой цифрры a:
(sqrt{a/{.(a)}}-{.a+.(a)}/a)*(sqrt{a/{.(a)}}!)!

Легко заметить, что представление с помощью семерок, основанное на этой схеме, оказалось наилучшим.

В заключение приведу рекордное представление (не предложенное никем из конкурсантов):

2008 = (matrix{2}{1}{{4!!^sqrt{4}} sqrt{4}}) - 4!!

Итого 4 четверки!

И еще несколько примеров (присланных Алексеем Кругловым уже после окончания конкурса):

(((0!+0!+0!)!)!!*(0!+0!+0!)!-0!)*((0!+0!+0!)!+0!)-0!  (12 цифр)

(((0!+0!+0!+0!)!!+0!)!!-0!)*(0!+0!)+((0!+0!+0!)!-0!)!  (12 цифр)

(matrix{2}{1}{{(0!+0!)^{(0!+0!+0!)!}} {0!+0!}})-(0!+0!+0!+0!)!!  (11 цифр)


(matrix{2}{1}{{(2+2)!!^2} {2}})-(2+2)!!  6 цифр)

(matrix{2}{1}{2^{sqrt{2/{.(2)}}!} 2}) - (2+2)!!  (6 цифр)

{(4!!)!}/{4!-4}-4!!  (4 цифры)

(matrix{2}{1}{{7+7} {7/{.(7)}}}) + sqrt{7/{.(7)}}!  (6 цифр)

{8!}/sqrt{8!!+8+8} - 8  (5 цифр)

Награды за Новогодний конкурс

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Sum
Николай Дерюгин 18119 8 7 9*109 6 9 2
Анатолий Казмерчук 13117 7 6 8 8 8 7 6 8
Галина Крюкова 191410147 101214189 1
Олег Полубасов 146*7 5*5*5*5*7*6*5*13
Илья Тарасов 2114119 7 121616169 1
Виктор Филимоненков14117 7 6 7 9 9 7 6 6
Владислав Франк 13117 7 6 7 8 8 6 6 10
Абсолютно лучшие 136 7 5 5 5 5 7 6 5
Стандартные 13107 7 6 7 8 8 6 6

Примечания:
Звездочкой помечены результаты, полученные с нестандартным использованием символов;
всем участникам добавлено по одному призовому баллу (ведь и те из них, кто не установил рекордов, нашли по 10 верных представлений)\\; Олегу Полубасову добавлено 3 призовых балла за нахождение красивого универсального представления числа 2008.

Эстетическая оценка задачи - 3.8 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_81]]

marathon/problem_81.txt · Последние изменения: 2008/04/07 23:14 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006