http://www-old.fizmat.vspu.ru/ 2026-03-04T02:56:55+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/ http://www-old.fizmat.vspu.ru/lib/images/favicon.ico text/html 2020-05-27T00:32:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:%D0%BC%D0%BC61-100&rev=1590528764 * Задачи ММ101-200 ММ100 Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - н... text/html 2019-09-17T23:04:33+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:%D0%BC%D0%BC101-200&rev=1568750673 * Задачи ММ1-100 Терминология к задачам ММ197,198 Последние задачи 20-го тура посвящены триангуляции многоугольников В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,146,147,150, под многоугольником понимается фигура, ограниченная плоской нес... text/html 2021-06-17T17:02:33+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:about&rev=1623938553 Правила марафона Рейтинг участников Архив Марафона Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто состави... text/html 2013-12-16T23:12:25+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:addition_56&rev=1387221145 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 32 32 33 33 34 34 35 35 36 36 38 37 39 38 40 39 42 40 44 41 45 42 46 43 48 44 50 45 ... text/html 2021-05-23T18:09:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:afterword_xxvii&rev=1621782551 Как известно, «В иерархической системе каждый индивидуум имеет тенденцию подняться до уровня своей некомпетентности». Ведущий Математического марафона - тоже человек. Я не уверен, что реализовал упомянутый принцип на основной работе: там, все же, мн... text/html 2021-03-29T07:54:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:archive&rev=1616993685 Конкурсная задача ММ260 (12 баллов) Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем... text/html 2016-03-26T09:25:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:competition_out_of_competition&rev=1458973509 В каждой задаче тематического конкурса требовалось указать правило, ​ по которому строится данная последовательность натуральных чисел. Цена задания определялась в зависимости от количества участников,​ справившихся с ним. 1) 6, 15, 35, 77, 91... text/html 2013-10-21T22:09:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:illustrations_102_co&rev=1382378985 R denotes the number of regions resulting from cutting convex polygon by all it's diagonals Ip denotes the number of inner points in which diagonals of polygon are intersected si denotes the number of inner points in which exactly i+2 diagona... text/html 2007-02-27T14:00:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:menu&rev=1172574031 Математический марафон Текущие задачи Разбор задач Рейтинг участников Архив Марафона ... text/html 2019-06-22T13:27:19+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:mm_2_appendix&rev=1561199239 В отличие от ММ2 в прилагаемом файле изучается отношение S/P. Впрочем, единственное отличие лишь в том, что теперь не нужно ограничение n > 3. ... text/html 2026-03-03T22:25:38+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:mm_77_appendix&rev=1772565938 Легко показать, что для каждого натурального k найдется M(k) - длина максимальной цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих в точности по k натуральных делителей. Для нечетных k M(k) всегда равно 1. С четными все гораздо интереснее. На сег... text/html 2019-06-23T16:17:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:mm_105_appendix&rev=1561295861 Еще немного о логической зависимости между различными классификациями выпуклых многоугольников. ... text/html 2019-06-23T13:54:28+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:mm_150_appendix&rev=1561287268 Небольшая сводка результатов, относящихся к ММ150 и ряду предыдущих задач. ... text/html 2019-06-19T16:12:23+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:mm_215_appendix&rev=1560949943 Как выяснилось вскоре после опубликования решения ММ215, предположение, высказанное в последней фразе обсуждения подтвердилось. Первый пример многогранника (им оказалась шестиугольная призма), который можно до бесконечности тетраэдризировать указанн... text/html 2015-10-03T13:00:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_1&rev=1443866426 Конкурсная задача ММ1 (5 баллов) Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы ... text/html 2019-06-18T07:04:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_2&rev=1560830669 Конкурсная задача ММ2 (7 баллов) Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей. Найти диапазон изменения P/S при: n = 4; (2 балла) n = 5; (2 балла) произвольном n, большем 3; (3 балла) Решение Пусть ABCD - выпуклый чет... text/html 2015-10-03T20:55:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_3&rev=1443894951 Конкурсная задача ММ3 (5 баллов) Некий путешественник, идя по дороге в стране, где живут рыцари и лжецы, встретил группу из нескольких местных жителей. Каждый из встреченных по-очереди произнес две фразы (причем первые фразы зависели от порядкового... text/html 2015-10-03T22:36:47+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_4&rev=1443901007 Конкурсная задача ММ4 (5 баллов) Обозначим через f(n) количество представлений натурального числа n в виде суммы максимально возможного числа попарно различных натуральных слагаемых. Например, число 14 можно представить в виде суммы максимум 4-х по... text/html 2015-10-04T14:26:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_5&rev=1443958001 Конкурсная задача ММ5 (3 баллов) При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд? Решение Пусть a - первый член, а d - разность п... text/html 2015-10-04T14:43:42+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_6&rev=1443959022 Конкурсная задача ММ6 (5 баллов) Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника? Решение Тройке случайных чисел (x,y,z) биективно соо... text/html 2025-12-10T18:24:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_7&rev=1765380284 Конкурсная задача ММ7 (7 баллов) На сколько кубов можно разрезать куб? Решение Будем называть натуральное число s достижимым, если куб можно разрезать на s кубов. Если мы можем разрезать куб на s кубов, то можем разрезать его и на s+7 кубов (для ... text/html 2015-10-04T16:12:12+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_8&rev=1443964332 Конкурсная задача ММ8 (8 баллов) Последовательность задана по правилу: f(n) = -1, если n mod 53 = 0 f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях 1. Каков maximum значений f(n) (1 балл) 2. При каком наименьшем n достигается maximum. (1 балл) 3. К... text/html 2015-10-04T17:11:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_9&rev=1443967911 Конкурсная задача ММ9 93 баллов) Пусть k - фиксированное натуральное число. Рассмотрим граф, вершинами которого являются натуральные числа (таким образом, число вершин бесконечно). Вершины a и b соединены ребром, если a+b есть k-тая степень некотор... text/html 2015-10-04T18:31:01+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_10&rev=1443972661 Конкурсная задача ММ10 (5 баллов) Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложени... text/html 2015-10-04T20:52:08+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_11&rev=1443981128 Конкурсная задача ММ11 (5 баллов) Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы распределены по вершинам тетраэдра так: а) (3, 1, 0, 0); (1... text/html 2015-10-05T22:30:22+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_12&rev=1444073422 Конкурсная задача ММ12 (5 баллов) В магазине имеются следующие товары (по одной штуке каждого): Общая тетрадь - 21 p. Коврик для мыши - 35 p. Шампунь - 49 p. Пила - 56 p. Энциклопедия на компакт-диске - 63 p. Набор отверток - 72 p. Кружка - 75 p. Н... text/html 2015-10-04T21:37:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_13&rev=1443983855 Конкурсная задача ММ13 (8 баллов) (Эта задачка была предложена Ольгой Рукосуевой в конференции RU.Golovolomka. Но не вызвала особого интереса. На мой взгляд, зря.) Для каких натуральных n можно расставить числа 1,2,…n по окружности так, чтобы абсо... text/html 2018-11-22T22:35:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_14&rev=1542915344 Конкурсная задача ММ14 (4 балла) Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения? Примечание Напомню, что движением плоскости называется ее преоб... text/html 2019-07-24T10:00:23+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_15&rev=1563951623 Конкурсная задача ММ15 (9 баллов) В качестве вводной предлагается задачка из конкурса 'Кенгуру' 1998 года: Мама печет 6 пирогов: сначала пирог с абрикосами (А), потом с брусникой (Б), с вишней (В), с грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой... text/html 2015-10-05T19:27:55+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_16&rev=1444062475 Конкурсная задача ММ16 (8 баллов) Эта задача перекликается с задачей ММ15 Вновь рассматриваются перестановки множества {1,2,…n}. Назовем перестановку правильной, если она не оставляет на месте ни одного элемента множества {1,2,…n}. Сколько существу... text/html 2015-10-05T22:36:24+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_17&rev=1444073784 Конкурсная задача ММ17 (5 баллов) Путник, оказавшийся на острове, где живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда врут) встретил группу туземцев из семи человек. На плащах у туземцев красовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на кажд... text/html 2021-01-20T17:05:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_18&rev=1611151526 Конкурсная задача ММ18 (3 балла) Найти все простые p, такие что числа 2p3+6p2+2p+3, 4p3+10p2+2p+9, 5p3+10p2+2p+12, 5p3+8p2+7p+5 просты. Решение Введем обозначения: a = 2p3+6p2+2p+3; b = 4p3+10p2+2p+9; c = 5p3+10p2+2p+12; d = 5p3+8p2+7p+5. Разлож... text/html 2015-10-07T11:09:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_19&rev=1444205353 Конкурсная задача ММ19 (6 баллов) Функция f(x) задана кусочно по правилу: f(x) = 4x+4 при x ≤ -1; f(x) = 0 при -1 < x ≤ 1; f(x) = x-1 при 1 < x ≤ 2; f(x) = 3-x при x > 2. Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки ариф... text/html 2020-06-02T04:24:57+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_20&rev=1591061097 Конкурсная задача ММ20 (6 баллов) Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба. Решение Обозначим ребро куба a. Будем рассматривать сечения, у которы... text/html 2015-10-07T20:06:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_21&rev=1444237573 Конкурсная задача ММ21 (10 баллов) Доказать, что уравнение (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах: a) при любом нечетном простом n (4 балла); б) при n=9 (6 баллов). Решение Как выяснилось, благодаря марафонцам, решившим эту задач... text/html 2015-10-07T20:13:14+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_22&rev=1444237994 Конкурсная задача ММ22 (6 баллов) У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись, не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал: - Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуман... text/html 2015-10-08T09:20:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_23&rev=1444285249 Конкурсная задача ММ23 (8 баллов) Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся: а) параллелограммом; б) ромбом; в) прямоугольником; г) квадратом; д) трапецией; е) равнобочной трапецией; ж) равнобедренным треугольником; з) правильным тр... text/html 2015-10-08T13:01:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_24&rev=1444298519 Конкурсная задача ММ24 (8 баллов) Описать г.м.т, равноудаленных от: 1) плоскости и не принадлежащей ей точки; 2) прямой и не принадлежащей ей точки; 3) двух пересекающихся прямых; 4) двух скрещивающихся прямых; 5) плоскости и перпендикулярной к ней... text/html 2020-06-03T20:59:04+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_25&rev=1591207144 Конкурсная задача ММ25 (4 баллов) Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? Решение Пусть ABCD - исходный квадрат, а прямая MN (M лежит на AB ближе к A, N - на CD) ... text/html 2015-10-09T11:30:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_26&rev=1444379435 Конкурсная задача ММ26 (9 баллов) Описать все натуральные n, для которых задача «Найти все натуральные k, кратные t, и имеющие ровно n натуральных делителей» (1) имеет единственное решение, если: 1) t = n; 2) t = 2n; 3) t = n2. Решение Приведу ре... text/html 2015-10-09T11:54:52+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_27&rev=1444380892 Конкурсная задача ММ27 (12 баллов) Эта задача перекликается с задачей №9 и отчасти с задачами ММ11 и ММ7. Граф G задан на множестве V = {1, 2,…, n} по правилу: вершины a и b соединены ребром, если a+b есть квадрат натурального числа. При каком на... text/html 2015-10-09T12:18:07+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_28&rev=1444382287 Конкурсная задача ММ28 (5 баллов) Васе Пупкину задали задачку: 'В квадрат с целочисленной стороной a вписан правильный треугольник, площадь которого также выражается целым числом. Найти площадь треугольника.' Вася (которому число a было и... text/html 2015-10-09T13:09:52+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_29&rev=1444385392 Конкурсная задача ММ29 (7 баллов) Назовем натуральное число «полуквадратным», если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа. 1) существуют ли полуквадратные числа в десятичной системе счисления? (2 балла) 2) для каких g ... text/html 2015-10-09T13:50:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_30&rev=1444387811 Конкурсная задача ММ30 (3 балла) Доказать, что для любого натурального числа n, можно подобрать множество M из n (разумеется, попарно различных) натуральных чисел таких, что сумма чисел из любого непустого подмножества M не является квадратом натур... text/html 2019-10-30T06:21:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_31&rev=1572405665 Конкурсная задача ММ31 (7 баллов) Пусть Sn - симметрическая группа (т.е. группа, образованная всеми биекциями множества {1, 2,…, n} на себя относительно операции композиции) и On - множество порядков всех элементов Sn. 1) Могут множества On совпада... text/html 2018-09-16T21:02:24+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_32&rev=1537120944 Конкурсная задача ММ32 (3 балла) Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами? ... text/html 2015-10-09T20:33:07+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_33&rev=1444411987 Конкурсная задача ММ33 (10 баллов) Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим чет... text/html 2015-10-13T10:17:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_34&rev=1444720625 Конкурсная задача ММ34 (4 балла) Последовательность задана рекуррентно: Доказать, что она целочисленная. Решение Уединяя корень и возводя обе части в квадрат, получим: f(n+1)2 - 3f(n)f(n+1) + f(n)2 - 1 = 0 Подставив в это соотношение n-1 вмест... text/html 2015-10-13T10:57:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_35&rev=1444723060 Конкурсная задача ММ35 (5 баллов) Васе и Пете задали задачку: «В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы.» Васе и Пете были извес... text/html 2018-10-23T00:03:19+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_36&rev=1540242199 Конкурсная задача ММ36 (5 баллов) Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n. 1) описать все такие n, для которых f(n) = n; (2 балла) 2) Доказать, что для любого натурального ... text/html 2017-12-21T11:58:58+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_37&rev=1513846738 Конкурсная задача ММ37 (13 баллов) Монетный двор Дурляндии чеканит монеты трех достоинств: 6, 10 и 15 дурок. 1) Некоторые суммы (в целое число дурок) в принципе не могут быть набраны дурляндскими монетами. Какова максимальная из них? (2 балла); 2) ... text/html 2015-10-14T13:17:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_38&rev=1444817849 Конкурсная задача ММ8 (3 балла) Обозначим через f(n) количество последовательностей длины n из нулей, единиц и двоек таких, что никакие две единицы и никакие две двойки не могут стоять в них подряд. Найти явную формулу для f(n). Решение Обозначим... text/html 2019-10-30T12:56:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_39&rev=1572429395 Конкурсная задача ММ39 (8 баллов) Эта задачка перекликается с задачей №29. В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1. Назовем число «полукубическим», если, приписывая его себе, получим куб некоторого натур... text/html 2019-06-30T23:24:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_40&rev=1561926294 Конкурсная задача ММ40 (4 балла) Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так... text/html 2019-07-09T12:23:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_41&rev=1562664197 Конкурсная задача ММ41 (3 балла) Двое играют в такую игру: Игроки A и B выставляют на кон по банкноте одинакового достоинства, на каждой из которых имеется семизначный номер. Игроки сравнивают соответствующие (стоящие в одинаковых позициях) цифры н... text/html 2016-03-01T23:47:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_42&rev=1456865269 Конкурсная задача ММ42 (3 балла) Вновь муха и тетраэдр. На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основ... text/html 2016-03-04T10:39:57+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_43&rev=1457077197 Конкурсная задача ММ43 (3 балла) Эта задача предложена для марафона Владиславом Франком. В вагоне экспресса Дакс-Бордо n мест. Человек заходит в вагон, имея билет без места. Он знает, что в вагоне свободно ровно одно место. Садится на произвольное... text/html 2016-03-04T10:22:42+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_44&rev=1457076162 Конкурсная задача ММ44 (3 балла) Решить в натуральных числах: xy = (x + y)x (1) Решение Ясно, что y > x > 1 (натуральный ряд начинается с 1). Пусть простое число p входит в каноническое разложение x в степени s, а в каноническое разложение ... text/html 2016-03-26T10:26:36+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_47&rev=1458977196 Конкурсная задача ММ47 (4 балла) В разностороннем треугольнике ABC провели биссектрису AD. При этом оказалось, что длины всех сторон треугольников ABD и ACD целочисленны. При каком наименьшем периметре треугольника ABC возможна такая ситуация? Реш... text/html 2016-03-26T13:20:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_48&rev=1458987637 Конкурсная задача ММ48 (7 баллов) Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть «строгой», если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир с строгой таблицей также будем называть «строгим». 1) Гросмейстер Грустин Попал... text/html 2016-05-31T09:40:27+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_49&rev=1464676827 Конкурсная задача ММ49 (3 балла) Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x12, x+a) | x ∈ N}. Решить в натуральных числах уравнение: m(a) = a Решение Приведу решение в изложении Олега Полубасова. Ответ: a ∈ ... text/html 2016-05-31T11:47:27+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_50&rev=1464684447 Задача ММ50 является прямым продолжением и обобщением задачи ММ13 Конкурсная задача ММ50 (13 баллов) Зададим на множестве V = {1,2,3,…,n} структуру графа, полагая, что вершины x и y из V смежны тогда и только тогда, когда ¦x-y¦ = u или ¦x-y¦ = v, ... text/html 2016-03-27T10:59:32+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_51&rev=1459065572 Конкурсная задача ММ4 (3 балла) 1) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:…:n? (1 балл) 2) Верно ли, что для любого положительного рационального числа a существуют такое n и такой способ расстановк... text/html 2016-03-27T11:00:32+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_52&rev=1459065632 Конкурсная задача ММ52 (11 баллов) Конечно ли множество натуральных чисел m таких, что количество обратимых элементов в кольце классов вычетов по модулю m равно количеству квадратов в том же кольце? Решение Широко известно (и несложно доказываетс... text/html 2016-03-27T08:47:21+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_53&rev=1459057641 Конкурсная задача ММ53 (8 баллов) Найти самое маленькое число, допускающее представление в виде суммы шести слагаемых, обладающее следующими свойствами: 1) каждое слагаемое является натуральным числом; 2) любые два слагаемых не взаимно просты; 3) л... text/html 2016-03-27T10:58:16+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_54&rev=1459065496 Конкурсная задача ММ54 (3 балла) Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон. Решение Приведу решение, данное Виктором Филимоненковым. 1. Максимум площадей четырехугольников с... text/html 2016-03-27T10:56:46+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_55&rev=1459065406 Конкурсная задача ММ55 (7 баллов) Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл) Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны... text/html 2016-03-27T12:08:48+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_56&rev=1459069728 Конкурсная задача ММ56 (12 баллов) Назовем трехпарным число, допускающее представление в виде суммы трех взаимно простых натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. Конечно ли множество натуральных чисел, не являющихся трехпарным... text/html 2016-03-27T13:40:18+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_57&rev=1459075218 Конкурсная задача ММ57 (10 баллов) Назовем многоугольник ординарным, если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. 1) На сколько частей разбивают ... text/html 2016-10-21T08:19:58+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_58&rev=1477027198 Конкурсная задача ММ58 (8 баллов) Обозначим через T(n) количество треугольников периметра n с целочисленными длинами сторон. 1) Конечно ли множество таких n, которые делят T(n)? 2) Конечно ли, множество таких n, при которых T(n) является полным кв... text/html 2016-05-20T07:04:22+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_59&rev=1463717062 Конкурсная задача ММ59 (8 баллов) Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n? Решение Напомню, что гомоморфизмом кольца К в кольцо К' называется отображение f:K → K', при ... text/html 2018-11-30T05:45:12+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_60&rev=1543545912 Конкурсная задача ММ60 (12 баллов) Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел. Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательнос... text/html 2009-10-06T21:58:27+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_61&rev=1254851907 Конкурсная задача №61 (Л-1) (4 балла) Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир. Ниже приведены его итоги: Команды О РМ 1. Елсич 10 3-0 2. Честерман 6 9-6 ... text/html 2007-04-25T12:45:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_62&rev=1177490737 Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача №62 (6 баллов) Тетраэдр, имеющий площадь поверхности S, сумму длин ребер L, сумму двугранных углов U и сумму трехгранных углов... text/html 2007-04-25T12:42:46+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_63&rev=1177490566 Результат этой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача №63 (Л-2) (4 балла) В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец, за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. ... text/html 2007-04-25T12:40:04+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_64&rev=1177490404 Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача №64 (6 баллов) Доказать, что уравнение 2x2 + 4y4 + 7z7 = t13 (*) имеет: 1) бесконечно много решений во множестве четных натур... text/html 2015-12-10T12:12:34+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_65&rev=1449738754 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача №65 (Л-3) (5 баллов) Математик С предложил математикам А и В такую загадку: - Я задумал три попарно различных натуральных ч... text/html 2007-05-23T09:00:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_66&rev=1179896454 Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача №66 (8 баллов) Двое играют в такую игру: Каждый игрок очередным своим ходом берет из кучки, содержащей n камней, некоторое колич... text/html 2013-09-29T12:28:16+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_67&rev=1380443296 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача №67 (Л-4) (7 баллов) Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обит... text/html 2007-06-07T09:03:55+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_68&rev=1181192635 Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача №68 (5 баллов) 1. Доказать, что для любого натурального n найдется натуральное k такое, что числа Фибоначчи F(k), F(k+1), …,... text/html 2007-06-22T15:32:33+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_69&rev=1182511953 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Завершающая задачка мини-конкурса логических задач, так же как и задачка, открывающая конкурс, футбольная. Конкурсная задача №69 (Л-5) (8 балл... text/html 2016-10-12T09:39:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_70&rev=1476254349 Конкурсная задача №70 (12 баллов) В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. в терминах задачи 48 турнир оказался строгим). На торжественном закрытии т... text/html 2015-10-20T10:26:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_71&rev=1445325991 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача №71 (А-1) (4 балла) Назовем n-значное натуральное число «замечательным», если оно равно сумме n-х степеней своих цифр.... text/html 2015-10-24T16:23:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_72&rev=1445693029 Эта задача была предложена Владиславом Франком (и Джоан Роулинг). Конкурсная задача №72 (5 баллов) Если Вы читали первую книгу про Гарри Поттера, то наверняка помните загадку Снейпа. В ряд стоят 7 бутылочек. Из 7 бутылочек одна позволяет пройт... text/html 2007-09-12T10:39:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_73&rev=1189579153 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача №73 (А-2) (6 баллов) A - множество из пяти натуральных чисел. Множество B состоит из сумм элементов всевозможных подмн... text/html 2007-10-30T14:17:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_74&rev=1193743074 Конкурсная задача №74 (6 баллов) Вася и Петя поспорили. Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы. Петя же утверждает, что объем такого многогран... text/html 2016-10-27T23:05:43+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_75&rev=1477598743 Эта задача в еще большей степени чем задача 45 навеяна известной задачей Иосифа Флавия (Josephus problem). Ее решение учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача №75 (А-3) (8 баллов) Для каждог... text/html 2007-10-30T14:15:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_76&rev=1193742915 Конкурсная задача №76 (8 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбивать n-мерное пространство 2n гиперплоскостей, имеющих общую точку? Примечание: Гиперплоскоскостью называется плоскость, размерность которой на единицу меньше размерно... text/html 2025-09-28T17:03:32+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_77&rev=1759068212 Решение этой задачи учитываетья дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача №77 (А-4) (8 баллов) Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение... text/html 2019-07-04T13:06:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_78&rev=1562234816 Конкурсная задача №78 (4 балла) Квадрат разрезали на n квадратов. Сумма периметров этих квадратов оказалась в 3 раза больше периметра исходного квадрата. Конечно ли множество таких n, при которых возможна описанная ситуация? Решение Обозначим... text/html 2015-09-19T07:57:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_79&rev=1442638651 Решение этой задачи учитываtтся дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача №79 (А-5) (4 балла) Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений? [x] + {y} = [y]⋅{x} x + y = n Примечания: [x] = fl... text/html 2017-11-16T11:34:23+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_80&rev=1510821263 Конкурсная задача №80 (7 баллов) Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти ... text/html 2008-04-07T23:14:04+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_81&rev=1207595644 Эта задача является одновременно Новогодним конкурсом, наподобие одного из тех, что проводил в свое время журнал «Наука и жизнь». Конкурсная задача №81 (10 баллов) Представить число 2008, используя знаки математических операций (+, -, *, :, ^), ... text/html 2008-04-29T08:35:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_82&rev=1209443756 Конкурсная задача №82 (3 балла) Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ? Решение Перепишем уравнение в виде: 2008y - 2008x - xy = 0 или 2008^2 + 2008y - 2008x - xy = 2008^2, т.е. (2008 + y)(2008 - x) = 2008^2... text/html 2012-11-19T17:55:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_83&rev=1353333349 Эта задача навеяна рядом известных задач Гуго Штейнгауза. Конкурсная задача №83 (8 баллов) Плоскость разлинована в клеточку (одна клетка - квадрат со стороной 1). Найти минимальный радиус окружности, проходящей через: 1) ровно 3 узла решетки; 2)... text/html 2012-04-08T18:37:30+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_84&rev=1333895850 Задача 84 являлась мини-конкурсом. Дабы не ввести участников Марафона в заблуждение, сразу уточню, что префикс «мини» не означает легкости этой задачи. Просто конкурс состоял всего из одной задачи. Конкурсная задача №84 (9 баллов) Имеется двадц... text/html 2008-07-02T10:13:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_85&rev=1214979231 Эта задача является прямым продолжением задачи 83 Конкурсная задача №85 (8 баллов) Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Доказать, что для любого натурального n найдется окружность, проходящая ровно через n узлов... text/html 2012-11-19T18:51:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_86&rev=1353336662 Конкурсная задача №86 (6 баллов) При каком соотношении между числами a, b, c, d прямоугольник со сторонами c, d можно накрыть прямоугольником со сторонами a, b. Примечание: Для придания однотипности ответам договоримся считать, что a ≥ b и c ≥ d... text/html 2008-10-10T08:34:21+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_87&rev=1223613261 Эта задача является прямым продолжением задачи №70 Конкурсная задача №87 (12 баллов) Раньше в круговых турнирах по футболу была принята система подсчета очков, при которой за победу команде начислялось 2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение -... text/html 2019-02-13T15:30:58+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_88&rev=1550061058 Конкурсная задача №88 (5 баллов) Доказать, что существует бесконечно много троек взаимно простых ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перес... text/html 2013-01-19T11:20:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_89&rev=1358580013 Конкурсная задача №89 (5 баллов) Для каждого натурального n определим функцию f(n) так. f(n) = k, если: 1) на плоскости можно расположить k попарно различных точек так, чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками содержал... text/html 2008-09-21T21:41:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_90&rev=1222018862 Конкурсная задача №90 (5 баллов) Первокурсник Вася Пупкин (умеющий быстро считать и знакомый с основами теории вероятности) сел в троллейбус и купил билет. Закрыв пальцем шестизначный номер билета, он стал открывать по одной цифре и высчитывать в... text/html 2009-02-13T22:39:39+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_91&rev=1234553979 Результат пpедлагаемой задачи учитываtтся дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача №91 (З-1) (3 балла) Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113. Решение Следующий член последовател... text/html 2018-02-28T18:26:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_92&rev=1519831589 Конкурсная задача №92 (6 баллов) Доказать, что натуральное число n является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда n кратно n-ф(n), где ф(n) - функция Эйлера. Решение Пусть n = pk. Тогда ф(n) = pk-1*(p-1) и n/(n-ф(n)) = p... text/html 2009-02-13T22:38:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_93&rev=1234553889 Результат пpедлагаемой задачи (не) учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача №93 (З-2) (8 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 19... text/html 2012-05-17T02:49:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_94&rev=1337208599 Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость л... text/html 2009-02-13T22:34:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_95&rev=1234553680 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача №95 (З-3) (5 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100… Решение Это квадраты последова... text/html 2009-02-13T22:32:25+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_96&rev=1234553545 Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача №96 (6 баллов) Двое играют в такую игру: С помощью идеального генератора случайных чисел выбирают натуральное число из интер... text/html 2009-02-13T22:24:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_97&rev=1234553057 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача №97 (З-4) (3 балла) Продолжить последовательность 10, 21, 55, 253, 1081,… Решение Это произведения простых чисел... text/html 2019-07-04T12:30:21+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_98&rev=1562232621 Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача №98 (7 баллов) Васю Пупкина заслали в тыл врага с целью выявить секретный код, ввод которого предотвратит термоядерный взрыв.... text/html 2009-02-13T22:19:00+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_99&rev=1234552740 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача №99 (З-5) (8 баллов) Продолжить последовательность 0,0,1,0,3,4,6,0,1,8,6,4,6,6,13,8… Подсказка: при продолжении дан... text/html 2013-09-30T09:03:01+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_100.5&rev=1380517381 В каждой задаче тематического конкурса требовалось указать правило, по которому строится данная последовательность натуральных чисел. Цена задания определялась в зависимости от количества участников, справившихся с ним. Условия, Решение и Обсужде... text/html 2017-09-07T03:46:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_100&rev=1504745216 Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - новые (хотелось бы надеяться ... text/html 2019-03-22T10:58:12+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_101&rev=1553241492 Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57. Конкурсная задача №101 (КГ-1) (8 баллов) Назовем многоугольник ординарным (терм... text/html 2013-05-28T11:33:20+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_102&rev=1369726400 Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задач ММ57 и ММ101. Конкурсная задача №102 (КГ-2) (9 баллов) На какое наименьшее число часте... text/html 2009-09-21T13:04:50+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_103&rev=1253523890 Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101 и ММ102. Конкурсная задача №103 (КГ-3) (3 балла) Сопоставим каждому выпукло... text/html 2019-06-23T16:15:04+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_104&rev=1561295704 Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101, ММ102 и ММ103. Конкурсная задача №104 (КГ-4) (9 баллов) Два выпуклых n-уго... text/html 2019-04-03T18:49:43+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_105&rev=1554306583 Конкурсная задача ММ105 (6 баллов) Математик C загадал некий граф и сообщил математику A степени всех вершин, а математику B - количество вершин и число связных компонент этого графа. Дальше, как водится, состоялся обмен мнениями. A: Знание степене... text/html 2009-09-21T12:30:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_106&rev=1253521840 Некоторые из марафонских задач привели к появлению новых последовательностей в OEIS. Макс Алексеев предложил использовать обратный механизм. Конкурсная задача №106 (от 3 баллов) Последовательность A116983 из OEIS определяется так: a(n) есть поряд... text/html 2009-09-21T12:26:55+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_107&rev=1253521615 Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов, но, в порядке эксперимента, предлагаю участникам «квадратную» задачку, навеянную предлагаемыми задачами,... text/html 2016-07-15T08:03:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_108&rev=1468559031 Задачка с антресолей. Конкурсная задача ММ108 (4 балла) Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями, параллельными основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на разные чаши равноплечных весов б... text/html 2009-09-21T12:14:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_109&rev=1253520875 Конкурсная задача ММ109 (6 баллов) Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники. Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы: 1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка; 2) число ... text/html 2013-09-27T11:17:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_110&rev=1380266255 Конкурсная задача ММ110 (КГ-5) (6 баллов) Квадрат со стороной n (n - натуральное, большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма периметров полученных прямоугольников при всех т... text/html 2010-07-07T10:48:30+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_111&rev=1278485310 Результат Задачи ММ111 учитывается дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. Конкурсная задача ММ111 (Ш-1) (3 балла) Найти количество способов, которыми за наименьшее возможное число ходов из начальной позиции может быть получена поз... text/html 2010-07-07T11:05:48+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_112&rev=1278486348 Светлой памяти C5 ЕГЭ посвящается. Конкурсная задача ММ112 (6 баллов) Решить уравнение при всех возможных наборах значений параметров a и b: 11x+a2-2a+b2+4b+|2x+a2-2a+4b+b2|+|-3x+2+a2-2a-4b-b2|+|-x-4b-b2+a2-2a|+18|x-2|=20 Решение График функции... text/html 2013-12-21T12:32:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_113&rev=1387614746 Результат Задачи ММ113 учитывается дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. Конкурсная задача ММ113 (Ш-3)[/color] (10 баллов) На множестве полей шахматной доски определим структуру графа GN следующим образом: две вершины (два поля) ... text/html 2010-07-07T11:02:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_114&rev=1278486131 Конкурсная задача ММ114 (7 баллов) Спорный участок имеет форму правильного треугольника периметром 100 м. Х, отстаивающий свое право собственности, решил для надежности обнести участок забором и приобрел 100 м сетки-рабицы. Но к тому моменту, когда... text/html 2010-07-07T11:00:08+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_115&rev=1278486008 Задача ММ15 составлена специально для Математического марафона Сергеем Половинкиным. Призовые баллы за решение ММ115 учитываются дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. Конкурсная задача ММ115 (Ш-3) (10 баллов) На шахматной доске ... text/html 2019-05-30T21:15:28+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_116&rev=1559240128 Задача ММ116 навеяна обсуждением одной из последовательностей в OEIS. Конкурсная задача ММ116 (10 баллов) Сколько существует связных графов, таких что произведение степеней вершин равно: а) сумме степеней вершин; б) сумме квадратов степеней верши... text/html 2010-07-07T10:57:03+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_117&rev=1278485823 Задача ММ117 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. Призовые баллы за решение ММ117 учитываются дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. А сама задача ММ117 является прямым продолжением задачи ММ115 и так же как ММ11... text/html 2012-12-07T11:21:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_118&rev=1354864877 Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад). Конкурсная задача ММ118 (7 баллов) Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон, он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге: - Бывши... text/html 2013-12-21T17:16:53+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_119&rev=1387631813 Задача ММ119 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. Конкурсная задача ММ119 (Ш-5) (8 баллов) Придумать корректную (т.е. ее можно получить из начальной по всем правилам шахматной игры) позицию, в которой белые дают мат в один ход,... text/html 2010-09-15T20:11:53+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_120&rev=1284567113 Задача ММ120 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться на форуме. Задача ММ120 продолжает линию задачи ММ57 и тематического конкурса 11-го тура. Конкурсная задача ММ120 (7 баллов) В задаче ММ103 каждому выпуклому многоугольнику был... text/html 2011-01-10T21:09:38+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_121&rev=1294682978 Задача ММ121 является прямым продолжением задачи ММ104. Оценка за решение задачи ММ121 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ121 (КГ-6) (8 баллов) 1. На сколько классов однотипных семиугольников раз... text/html 2011-01-10T21:13:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_122&rev=1294683182 Задача ММ122 является прямым продолжением задачи ММ57. Оценка за решение задачи ММ122 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ122 (КГ-7) (4 балла) 1. Найти формулу для выражения числа вершин структурн... text/html 2011-01-10T21:15:47+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_123&rev=1294683347 Конкурсная задача MM123 (5 баллов) Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку? Решение Бросание м... text/html 2018-09-30T21:39:43+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_124&rev=1538332783 Конкурсная задача ММ124 (4 балла) Пусть Sn = 2 + 3 + 5 + 7 +…+ pn - сумма n первых простых чисел. Доказать, что Sn является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что Sn + q кратно 2, 3, 5, …, pn. Решение Приведу р... text/html 2011-01-10T21:20:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_125&rev=1294683602 Оценка за решение задачи ММ125 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ125 (КГ-8) (4 балла) Верно ли, что группа автоморфизмов структурного графа любого n-угольника изоморфна подгруппе группы диэдра n-... text/html 2011-01-10T21:22:24+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_126&rev=1294683744 Конкурсная задача ММ126 (4 балла) Есть 8 шаров, среди которых 6 заряжены нейтрально, один - положительно и один - отрицательно. Есть прибор, который, будучи поднесённым к группе шаров, покажет их общий заряд (он покажет 0 и если в группе нет ни одн... text/html 2011-01-10T21:25:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_127&rev=1294683945 Оценка за решение задачи ММ127 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ127 (КГ-9) (12 баллов) Существуют ли однотипные, но не изополярные многоугольники? Решение Каждый полюс первого порядка уменьша... text/html 2012-11-20T10:16:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_128&rev=1353392211 Оценка за решение задачи ММ128 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ128 (КГ-10) (20 баллов) На сколько классов изополярных восьмиугольников разбиваются выпуклые восьмиугольники? Решение Очевидно,... text/html 2011-01-25T10:57:10+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_129&rev=1295942230 Конкурсная задача ММ129 Будем заполнять бесконечный клетчатый лист бумаги натуральными числами по спирали (каждый следующий виток начинается на вертикали, в которой стоит единица): Для каждого числа найдём восемь модулей разности его с соседями (п... text/html 2011-01-25T10:56:10+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_130&rev=1295942170 Конкурсная задача ММ130 Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда шириной a, высотой b и длиной c. На стене aхb сидит таракан. Он находится на расстоянии a/2 от смежной стены и на расстоянии x от потолка, x ≤ b/2 и хочет попасть в точку, с... text/html 2011-06-13T21:28:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_131&rev=1307986136 Конкурсная задача ММ131 (3 балла) (Прощай 2010-й) Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2, …, 2010} по правилу: {x,y} ∈ E ⇔ x+y = a или x+y = b, где a и b - фиксированные натуральные числа. При каких a и b, граф G: а) связен; б) является де... text/html 2011-06-13T21:38:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_132&rev=1307986693 Конкурсная задача ММ132 (5 баллов) (Здравствуй 2011-й) Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2,…, 2011} по правилу: {x,y} ∈ E ⇔ |x-y| > a , где a - фиксированное натуральное число, меньшее 1006. Сколько периферийных вершин может иметь гр... text/html 2011-06-13T21:44:46+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_133&rev=1307987086 Оценка за решение задачи ММ133 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ133 (3 балла) На столе лежит N спичек. Петя и Вася поочерёдно берут оттуда от 1 до 5 спичек, однако нельзя повторять число, взято... text/html 2011-06-13T21:47:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_134&rev=1307987279 Оценка за решение задачи ММ134 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ134 (МИ2) (4 балла) Позицией в игре является конечное множество чисел, записанных в двоичной системе счисления. Игроки по очереди... text/html 2011-06-13T21:51:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_135&rev=1307987475 Конкурсная задача ММ135 (4 балла) Конечно ли множество пар натуральных чисел (a,b), таких что остатки от деления a2 на b и b2 на a равны по 2011? Решение Положим: a1=3234, a2=8467, ai+1=3ai-ai-1. Легко проверяется и доказывается по индукции, что... text/html 2011-06-13T21:46:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_136&rev=1307987189 Оценка за решение задачи ММ136 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ136 (МИ3) (5 баллов) На столе в открытую лежит 16 карт: 4 туза (считаются за 1 очко), 4 двойки, 4 тройки и 4 четвёрки. Петя и Вас... text/html 2011-06-13T21:36:28+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_137&rev=1307986588 Оценка за решение задачи ММ137 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ137 (МИ4) (6 баллов) Шашки двух игроков стоят на противоположный полях прямоугольника 1x(N+2), между ними N клеток. Начальная ско... text/html 2011-06-13T21:32:53+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_138&rev=1307986373 Конкурсная задача ММ138 (6 баллов) Доказать, что для любого натурального k найдутся натуральные a, n и g, такие что для всех i из {0,1,… ,k-1} в системе счисления с оcнованием g+i, число a является n-i-значным. Решение Обсуждение Приведу пример... text/html 2011-06-13T21:34:33+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_139&rev=1307986473 Задача ММ139 является развитием идеи задачи Кузнецова Сергея Тихоновича. Оценка за решение этой задачи будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. Конкурсная задача ММ139 (МИ5) (7 баллов) Кнопки калькулятора расположен... text/html 2021-05-27T08:01:36+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_140&rev=1622091696 Задача ММ140 навеяна вот этой: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=26362 Конкурсная задача ММ140 (10 баллов) На квадратной площади, разлинованной на nxn клеток (полей) собрались n2 человек, каждый из которых является либо рыцарем (всег... text/html 2012-11-09T09:27:00+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_141&rev=1352438820 Конкурсная задача ММ141 (3 балла) Существуют ли натуральные числа n>1 такие, что σ(σ(n))<1.000000001n? (σ(n) - сумма натуральных делителей числа n.) Решение Проще всего найти подходящее число, взяв достаточно большое (больше 109) простое ч... text/html 2016-10-28T16:48:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_142&rev=1477662531 Конкурсная задача ММ142 (4 балла) Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую ... text/html 2012-01-07T00:49:28+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_143&rev=1325882968 Конкурсная задача ММ143 (КГ11) (4 балла) Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра? Решение Очевидно, что возможны два случая: равны между собой все боковые ребра; равны меж... text/html 2012-01-07T00:47:39+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_144&rev=1325882859 Конкурсная задача ММ144 (5 баллов) На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканч... text/html 2012-11-20T11:08:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_145&rev=1353395334 Конкурсная задача ММ145 (КГ12) (3 балла) Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик? Решение Пусть между двумя соседними вершинами выпуклой оболочки многоугольника расположено k вершин, не входящих в выпуклую оболочку. Тогда соответствующ... text/html 2012-01-25T08:44:24+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_146&rev=1327466664 Конкурсная задача ММ146 (4 балла) При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D2? Решение Сумма степеней вершин, а следовательно и сумма квадратов степеней вершин, любого графа - четна. Поэтому для не... text/html 2014-05-10T11:06:32+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_147&rev=1399705592 Конкурсная задача ММ147 (КГ13) (6 баллов) Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольник, у которого ровно один угол больше развернутого? Решение Воспользуюсь чертежом Анатолия Казмерчука: Размеcтив вершину An внутри треу... text/html 2012-11-20T11:16:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_148&rev=1353395769 Конкурсная задача ММ148 (8 баллов) Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольник? Решение Приведу решение Виктора Филимоненкова. Решение: Сначала по индукции докажем, что у любого n-угольника существует по крайней мере n-3 внутренние диа... text/html 2020-06-22T11:36:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_149&rev=1592815001 Конкурсная задача ММ149 (8 баллов) При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы. Решение Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью. 253=23⋅11. Поэтому по ... text/html 2019-06-23T16:12:10+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_150&rev=1561295530 Конукрсная задача ММ150 (КГ15) (12 баллов) Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого, зеленого и красного цветов следующим образом: свободой стороне соответствует белая бусина; полусвободной - зеленая; зажатой - красная... text/html 2012-01-30T20:57:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_151&rev=1327942657 Конкурсная задача ММ151 (ТГ-1) (4 балла) Каждая клетка доски 4х4 покрашена либо в черный, либо в белый цвет. На множестве клеток задана структура графа. Две клетки смежны, если: они одного цвета; у них одинаковое число соседей каждого цвета. (Сосед... text/html 2019-07-04T15:19:20+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_152&rev=1562242760 Конкурсная задача ММ152 (6 баллов) Сколькими способами можно разрезать квадрат на 10 квадратов. Два разрезания считаются неразличимыми, если в итоге получится поровну квадратов каждого размера. Решение Приведу решение Олега Полубасова. Для любог... text/html 2012-02-14T19:57:48+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_153&rev=1329235068 Конкурсная задача ММ153 (ТГ-2) (4 балла) Пусть n, m и k означают соответственно число вершин, ребер и связных компонент графа. Какое наименьшее количество изолированных вершин может иметь граф, для которого выполняется соотношение 11k = 10n = 8m? ... text/html 2012-02-18T18:29:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_154&rev=1329575385 Конкурсная задача ММ154 (5 баллов) Математик D предложил математикам A, B и C следующую задачку: Я загадал два натуральных числа (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 20. Сейчас я сообщу A сумму квадратов, B - произведение, ... text/html 2012-02-26T12:03:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_155&rev=1330243421 Конкурсная задача ММ155 (4 балла) Существует ли цепочка из 1000 последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее 1000 натуральных делителей? Решение Приведу решение Алексея Волошина: Возьмём 1000000 различных простых чисел p... text/html 2016-10-10T10:10:53+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_156&rev=1476083453 Kонкурсная задача ММ156 (ТГ-3) (5 баллов) На занятии по дискретной математике на доске был изображен некоторый граф. Вася Пупкин записал в тетрадку количество вершин и ребер каждой связной компоненты графа, а также степени вершин самой большой (... text/html 2012-11-21T20:01:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_157&rev=1353513709 Kонкурсная задача ММ157 (6 баллов) В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного, проведены высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L. Найти KL, если радиус ... text/html 2012-03-20T18:55:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_158&rev=1332255311 Задача ММ158 предложена Олегом Полубасовым Конкурсная задача ММ158 (ТГ-4) (7 баллов) I. Города занумерованы от 1 до N. Дорога, непосредственно соединяющая города i и j, существует, если и только если |i-j| - простое число. Длина дороги равна |i-j... text/html 2012-03-23T23:10:57+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_159&rev=1332529857 Конкурсная задача ММ159 (6 баллов) Для натурального числа n, большего 1, обозначим через qu(n) отношение суммы количеств единиц во всех записях числа n в системах счисления с натуральными основаниями, большими 1, к самому числу n. Найти наибольшее ... text/html 2012-04-05T20:27:14+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_160&rev=1333643234 Конкурсная задача ММ160 (ТГ-5) (10 баллов) На множестве натуральных чисел от 1 до 10460353203 структура графа G задается так: вершины a и b смежны тогда и только тогда, когда множества цифр в g-ичной записи чисел a и b различны при любом натурально... text/html 2012-11-19T09:21:32+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_161&rev=1353302492 Конкурсная задача ММ161 (РК-1) (3 балла) По мотивам задачи ММ132 (и ряда других) Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2, …, 1000000000000} по правилу: {a,b} ∈ E тогда и только тогда, когда сумма чисел a и b равна некоторой четной натураль... text/html 2012-09-23T20:10:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_162&rev=1348416641 Конкурсная задача ММ162 (РК-2)[/color] (4 балла) По мотивам задачи ММ94 Пару различных натуральных чисел a и b назовем похожими, если φ(a)=φ(b), σ(a)=σ(b), τ(a)=τ(b), где φ(n), σ(n) и τ(n), соответственно функция Эйлера, сумма и число натуральных ... text/html 2020-02-27T10:07:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_163&rev=1582787233 Конкурсная задача ММ163 (РК-3) (5 баллов) По мотивам задачи ММ94 (и ММ162) Пару похожих чисел a и b назовем s-парой, если a = spq, b=s3r, где p, q, r, s - попарно различные простые числа. Проверить истинность каждого из следующих утверждений: 1. Д... text/html 2012-10-06T14:31:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_164&rev=1349519471 Конкурсная задача ММ164 (РК-4) (6 баллов) По мотивам задачи ММ135 В задаче ММ135 приведено несколько рекуррентных последовательной вида ai+1=dai-ai-1 соседние члены которых дают бесконечные множества пар натуральных чисел (a,b) таких, что остатки ... text/html 2019-04-08T09:01:14+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_165&rev=1554703274 Конкурсная задача ММ165 (РК-5) (7 баллов) По мотивам задачи ММ74 Вася и Петя поспорили. Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 15 ребер имеют длину 1 заведомо больше объема каждого и... text/html 2012-10-17T12:28:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_166&rev=1350462489 Конкурсная задача ММ166 (3 балла) Для каждого из натуральных чисел от 1 до 10000000000 находят знакочередующуюся сумму всех натуральных делителей, упорядоченных по возрастанию (делитель 1 берется со знаком минус). Сколько отрицательных и сколько не... text/html 2012-10-22T19:08:06+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_167&rev=1350918486 Конкурсная задача ММ167 (4 балла) Будем говорить, что треугольник принадлежит к классу k, если из него можно получить прикладыванием к нему другого треугольника (без наложения) ровно k различных равнобедренных треугольников. Найти все возможные зна... text/html 2016-12-20T10:25:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_168&rev=1482218740 Конкурсная задача ММ168 (5 баллов) Существует ли многогранник, у которого ровно: 2 диагонали; 5 диагоналей; 7 диагоналей? Решение Докажем, что для любого целого неотрицательного n существует (выпуклый) многогранник, имеющий ровно n диагоналей. ... text/html 2017-11-20T14:11:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_169&rev=1511176286 Конкурсная задача ММ169 (6 баллов) Для каждого натурального числа n обозначим s(n)=φ(σ(n))/σ(φ(n)), где φ(n) - функция Эйлера, а σ(n) - сумма натуральных делителей числа n. Может ли s(n) быть: а) меньше 1/50; б) больше 7? Решение задачи 169 Решен... text/html 2013-04-23T09:35:27+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_170&rev=1366695327 Конкурсная задача ММ170 (8 баллов) Прямоугольный параллелепипед склеили из единичных некрашеных кубиков. После этого три грани параллелепипеда покрасили в красный цвет. Остальные три грани покрасили в синий, желтый и зеленый цвета (по одной в кажды... text/html 2013-04-30T20:09:07+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_171&rev=1367338147 Конкурсная задача ММ171 (А-1) (5 баллов) Вася, Петя, Коля и Федя хвалились параллелепипедами, которые они склеили из единичных кубиков. Васин параллелепипед имел размеры axbxc. Петин - (a+1)xbxc, Колин - (a+1)x(b+1)xc, а Федин - (a+1)x(b+1)x(c+1). ... text/html 2013-04-30T20:10:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_172&rev=1367338226 Конкурсная задача ММ172 (А-2) (5 баллов) Доказать, что существует бесконечно много хитовых abc-троек, таких что c является степенью пятерки. Примечание: Тройка натуральных чисел a,b,c называется хитовой abc-тройкой, если a+b = c, GCD(a,b) = 1 и c... text/html 2013-05-06T09:05:51+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_173&rev=1367816751 Конкурсная задача ММ173 (А-3) (5 баллов) Последовательность состоит из натуральных чисел, представимых в виде суммы четырех своих (попарно различных) делителей, расположенных в естественном порядке. Найти стомиллиардный член этой последовательности... text/html 2018-11-02T21:51:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_174&rev=1541184701 Конкурсная задача ММ174 (А-4) (7 баллов) Найти наименьшее натуральное число, произведение всех натуральных делителей которого заканчивается а) ровно 2013 нулями; б) не менее чем 2013 нулями. Примечание: Система счисления десятичная. Решение При... text/html 2019-08-10T20:01:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_175&rev=1565456504 Конкурсная задача ММ175 (А-5) (8 баллов) Натуральное число n назовем g-2-числом, если число 2n, записанное в системе счисления c основанием g получается из n перестановкой цифр. Какие основания встречаются (в натуральном ряду) чаще: те, для которых... text/html 2013-05-31T01:39:42+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_176&rev=1369949982 Конкурсная задача ММ176 (5 баллов) Сколько точек экстремума, не являющихся точками разрыва, имеет функция f(x) = {x}+{x2}+{x}2 ? Примечание: {x} - дробная часть числа x. Решение Приведу решения Олега Полубасова, рассмотревшего ряд аналогичных за... text/html 2013-06-08T22:03:20+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_177&rev=1370714600 Конкурсная задача ММ177 (6 баллов) В розыгрыше кубка мира участвуют 128 равных по силе шахматистов. 10 из них представляют Россию, 8 - Украину. После жеребьевки в первом раунде встречаются №1 и №2, № 3 и №4, …, №127 и №128. Во втором раунде победит... text/html 2013-06-29T14:05:48+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_178&rev=1372500348 Конкурсная задача ММ178 (Оладьи на сковородке) (9 баллов) В единичный круг поместим (без наложений) k кругов одинакового радиуса. Обозначим через Sk максимальное значение площади этих k кругов. Расставить числа S1, S2,…, S12 в порядке возрастания. ... text/html 2019-10-31T19:40:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_179&rev=1572540056 Конкурсная задача ММ179(10 баллов) Имеется 11 монет: 2 золотых; 4 серебряных; 5 бронзовых. Известно, что одна золотая, одна серебряная и 2 бронзовых монеты - фальшивые. Все настоящие монеты равны по весу. Все фальшивые тоже равны по весу, но легче ... text/html 2019-08-09T07:56:53+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_180&rev=1565326613 Конкурсная задача ММ180 (13 баллов) Назовем натуральное число «трижды нечетным», если само число, сумма его делителей и сумма делителей суммы его делителей нечетны. Может ли «трижды нечетное» число быть кратно 821? Решение Приведу решение Олега П... text/html 2013-10-19T00:30:48+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_181&rev=1382128248 Разминка Конкурсная задача ММ181 (3 балла) Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013? Решение Привожу решения Андрея Халявина и Олега Полубасова.... text/html 2013-10-23T01:18:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_182&rev=1382476739 Продолжаем разминаться Конкурсная задача ММ182 (3 балла) Назовем натуральное число n суперделимым, если: 1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей; 2) для любого собственного подмножества множества простых делителей n чис... text/html 2019-08-05T14:04:34+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_183&rev=1565003074 Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением Конкурсная задача ММ183 (3 балла) Про пять чисел a,b,c,d,e известно, что a<b<c<d<e. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в эт... text/html 2013-11-08T12:20:58+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_184&rev=1383898858 Как же без графов? Конкурсная задача ММ184 (7 баллов) Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один ... text/html 2013-11-15T13:30:10+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_185&rev=1384507810 Очередной раз режем квадрат Конкурсная задача ММ185 (5 баллов) Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P. Решение Приведу решения Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анат... text/html 2014-01-21T23:46:27+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_186&rev=1390333587 Еще в школе, решая задачи типа «Из пунктов A и B навстречу друг другу…», грезил предлагаемой задачей. И вот… Конкурсная задача ММ186 (7 баллов) В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза «Альфа» составляло 12 км, а до буксира «Омега» - . В 13:00 рас... text/html 2013-12-08T11:54:33+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_187&rev=1386489273 Можно обойтись без эллиптических кривых Конкурсная задача ММ187 (6 баллов) Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел , таких что является натуральным числом. Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых . Сущест... text/html 2014-09-13T12:03:58+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_188&rev=1410595438 Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного Конкурсная задача ММ188 (9 баллов) 1. a,b,c,d - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные). M = {{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}}. Подмножество множества M назовем хороши... text/html 2014-10-11T11:00:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_189&rev=1413010829 Псевдогеометрия Конкурсная задача ММ189 (6 баллов) Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m? Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука ... text/html 2013-12-23T21:40:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_190&rev=1387820415 Настоящая геометрия Конкурсная задача ММ190 (12 баллов) Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра? Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. Решение Традиционно привожу реше... text/html 2019-01-10T18:56:22+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_191&rev=1547135782 Конкурсная задача ММ191 (4 балла) Рассматриваются тройки чисел a ≤ b ≤ c, не превосходящих данного натурального числа n. Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных? Решение Для каждого фикси... text/html 2014-09-21T08:00:57+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_192&rev=1411272057 Конкурсная задача ММ192 (5 баллов) Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n. Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Дми... text/html 2014-09-27T14:37:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_193&rev=1411814235 ММ193 (6 баллов) Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b? Примечания: участники первой партии определяются жребием; для определенности б... text/html 2021-01-23T09:25:50+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_194&rev=1611383150 Конкурсная задача ММ194 (6 баллов) Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая... text/html 2014-10-11T16:49:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_195&rev=1413031745 Конкурсная задача ММ195 (7 баллов) Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m. Решение Приведу решения Дмитрия Пашуткина (наиболее... text/html 2014-10-25T09:48:06+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_196&rev=1414216086 Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186 Конкурсная задача ММ196 (9 баллов) 1. Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно. 2. Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.... text/html 2017-12-21T12:45:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_197&rev=1513849544 Конкурсная задача ММ197 (5 баллов) Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников одной прямой и нельзя разрезать одной прямой на большее число треугольников. Найти все возможные значения k для n = ... text/html 2014-11-08T18:52:12+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_198&rev=1415461932 Конкурсная задача ММ198 (8 баллов) Будем говорить, что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s ... text/html 2014-11-15T14:49:18+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_199&rev=1416052158 В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные «дыры». Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.) Ко... text/html 2014-11-30T13:33:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_200&rev=1417343621 Конкурсная задача ММ200 (8 баллов) Обозначим через T(m) максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.) При каком наименьшем m значение о... text/html 2015-09-19T07:24:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_201&rev=1442636696 Конкурсная задача ММ201 (3 балла) Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса. Решение ... text/html 2016-03-27T11:04:06+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_202&rev=1459065846 Конкурсная задача ММ202 (5 баллов) При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. Обсуждение Вторая задача тура также не вызвала серьезных з... text/html 2015-09-27T19:22:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_203&rev=1443370957 Конкурсная задача ММ203 (5 баллов) Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и ... text/html 2015-10-03T10:43:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_204&rev=1443858225 Конкурсная задача ММ204 (5 баллов) Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. Решение Привожу решения Олега Полубасова и Ариадны. Обсуждение Задача ММ204 оказалась проходно... text/html 2015-10-10T13:34:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_205&rev=1444473296 Конкурсная задача ММ205 (7 баллов) Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмер... text/html 2016-05-31T21:01:20+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_206&rev=1464717680 Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77 Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если 1) k = 18; 2) k = 20; 3)... text/html 2016-05-31T12:13:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_207&rev=1464686039 Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206 Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, ... text/html 2015-11-15T13:43:00+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_208&rev=1447584180 Конкурсная задача ММ208 (7 баллов) От двух до пяти. Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не вза... text/html 2016-03-26T09:36:55+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_209&rev=1458974215 Конкурсная задача ММ209 (9 баллов) Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно мног... text/html 2017-11-19T17:05:24+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_210&rev=1511100324 Конкурсная задача ММ210 (13 баллов) 1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M? 2. Пусть в разностороннем треугольнике AB... text/html 2016-09-18T09:56:25+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_211&rev=1474181785 Конкурсная задача ММ211 (3 балла) Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. Решение Приведу решения Олега Полубасова, Василия Дзюбенко и Виктора Филимоненкова: Обсужде... text/html 2016-09-26T08:32:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_212&rev=1474867957 Конкурсная задача ММ212 (4 балла) Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. Решение Приведу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Решение Владимира Чубанова Доказательство. Каждую ... text/html 2016-10-02T12:13:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_213&rev=1475399597 Конкурсная задача ММ213 (4 балла) 1. Пусть H = {h1, h_2,…, hf} , где f - количество граней, а hi - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ? 2. Пусть gi означает число i-угольных граней многогранника для каждого зна... text/html 2016-10-10T00:17:21+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_214&rev=1476047841 Конкурсная задача ММ214 (4 балла) 1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно? 2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны? Решение В качестве образца типового решения привед... text/html 2019-06-15T07:28:30+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_215&rev=1560572910 Конкурсная задача ММ215 (4 балла) На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? Решение привожу решения Виктора Филимоненкова, Дмитрия Пашуткина и Анатолия Казмерчука. Обсуждение Эта задача оказалась первой в н... text/html 2016-12-11T10:50:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_216&rev=1481442615 Конкурсная задача ММ216 (10 баллов) Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n. 1. Доказать, что все праймориалы красивы. 2. Верно ли, что все факториалы красивы? 3. Скол... text/html 2016-11-15T14:57:52+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_217&rev=1479211072 Конкурсная задача ММ217 (6 баллов) Диагонали AC1 и BD1 шестигранника ABCDA1B1C1D1, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Каз... text/html 2017-11-08T23:00:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_218&rev=1510171209 Конкурсная задача ММ218 (5 баллов) Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. Решение Привожу решения Владимира Чубанова, Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Владислава Франка. Решение Владимира Чу... text/html 2017-11-08T22:58:12+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_219&rev=1510171092 Конкурсная задача ММ219 (8 баллов) Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Владислава Франка. Обсуждение По мере продвижения к финишу конкурса зада... text/html 2019-06-16T14:38:00+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_220&rev=1560685080 Конкурсная задача ММ220 (15 баллов) Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. Решение Привожу все поступившие решения этой тр... text/html 2017-09-16T08:44:43+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_221&rev=1505540683 Конкурсная задача ММ221 (4 балла) Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x4 + 2y3 = 37z ? Решение Приведу решение Анатолия Казмерчука (все остальные правильные решения отличаются от него только отсутствием обобщения): Обсуждение ... text/html 2017-09-23T12:10:06+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_222&rev=1506157806 Конкурсная задача ММ222 (6 баллов) На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сум... text/html 2021-01-20T17:14:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_223&rev=1611152057 Конкурсная задача ММ223 (6 баллов) Рассмотрим две задачки. 1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценк... text/html 2017-10-07T12:25:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_224&rev=1507368326 Конкурсная задача ММ224 (6 баллов) В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совп... text/html 2017-10-14T13:31:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_225&rev=1507977086 Конкурсная задача ММ225 (6 баллов) Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x2 + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. Решение Участники порадовали разнообразием подходов. Поэтому вновь приведу все решения: Евгения Гужавина, ... text/html 2019-11-05T08:45:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_226&rev=1572932749 Конкурсная зхадача ММ226 (5 баллов) Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. А есть ли, вообще, с... text/html 2017-10-28T13:47:42+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_227&rev=1509187662 Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов) Пусть - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число . Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае. Доказать, что си... text/html 2017-11-12T13:28:30+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_228&rev=1510482510 Конкурсная задача ММ228 (4 балла) Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука (часть I, часть II, часть III) и Олега Полубасова. Обс... text/html 2017-12-09T15:11:37+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_229&rev=1512821497 Конкурсная задача ММ229 (7 баллов) Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, ... text/html 2018-09-09T11:42:38+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_230&rev=1536482558 Конкурсная зхадача ММ230 (15 баллов) Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? Решение Традиционно привожу решения Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова. Обсуждение При составлении... text/html 2018-09-23T18:06:10+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_231&rev=1537715170 Конкурсная задача ММ231 (4 балла) На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A... text/html 2018-09-23T18:08:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_232&rev=1537715291 Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ? Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. Реше... text/html 2018-10-01T09:34:35+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_233&rev=1538375675 Конкурсная задача ММ233 (6 баллов) Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой (x - a + 1)2 + (y - 3)2 ≤ 80, (x - 3)2 + (y - 4a + 1)2 ≤ 20a2, 230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + ... text/html 2018-10-07T10:31:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_234&rev=1538897462 Конкурсная задача ММ234 (5 баллов) Функция g(n) натурального аргумента n задается так: Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры. Например, f(... text/html 2018-10-14T10:36:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_235&rev=1539502577 Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука. Обсуж... text/html 2020-03-04T14:43:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_236&rev=1583322211 Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможн... text/html 2019-09-07T12:36:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_237&rev=1567848991 Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в запис... text/html 2019-09-07T12:38:13+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_238&rev=1567849093 Конкурсная задача ММ238 (7 баллов) Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. ... text/html 2019-10-19T05:46:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_239&rev=1571453165 Конкурсная задача ММ239 (10 баллов) Решения принимаются до 17.11.2018 Существует ли выпуклый многогранник, у которого: a) не менее половины граней - семиугольники; b) более половины граней - семиугольники; с) не менее половины граней - восьмиугол... text/html 2019-10-19T05:47:50+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_240&rev=1571453270 Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов) Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова... text/html 2020-05-02T11:12:41+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_241&rev=1588407161 Конкурсная задача ММ241 (4 балла) При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? Решение Привожу решения Александра Домашенко и ... text/html 2020-05-02T11:14:44+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_242&rev=1588407284 Конкурсная задача ММ242 (5 баллов) На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого фут... text/html 2020-05-02T11:16:34+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_243&rev=1588407394 Конкурсная задача ММ243 (5 баллов)⊥ В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc Найти угол β. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой и Анны Букиной (только они не поленились сделать чертежи). Еще одно решение (Виктора... text/html 2020-05-02T11:17:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_244&rev=1588407474 Конкурсная задача ММ244 (6 баллов) Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку: - Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгад... text/html 2020-05-02T11:19:15+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_245&rev=1588407555 Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. Решение Прив... text/html 2020-09-03T16:52:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_246&rev=1599141125 Конкурсная задача ММ246 (7 баллов) Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? Решение Привожу решения Константина Шамсутдинова, Виктора Филимоненкова и авт... text/html 2020-09-03T16:53:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_247&rev=1599141229 Конкурсная задача ММ247 (7 баллов) Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию fk(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f5(n) и f9(n). Решение Привожу решения Анатолия Казмерчук... text/html 2020-09-03T16:55:23+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_248&rev=1599141323 Конкурсная задача ММ248 (8 баллов) Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. Решение Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова. (Решение Анатолия Казмер... text/html 2020-09-03T16:56:31+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_249&rev=1599141391 Конкурсная задача ММ249 (10 баллов) Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk=a иметь ровно 2020 решений? Решение Привожу решения Мераба Левиашвили, Константина Шамсутдинова и Анато... text/html 2020-09-03T16:57:59+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_250&rev=1599141479 Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова, Анатолия Ка... text/html 2021-03-10T21:42:43+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_251&rev=1615401763 Конкурсная задача ММ251 (3 балла) Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей ... text/html 2021-03-10T21:45:02+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_252&rev=1615401902 Конкурсная задача ММ252 (3 балла) Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15; 90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10. Доказ... text/html 2021-03-10T21:47:05+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_253&rev=1615402025 Конкурсная задача ММ253 (5 баллов) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB1 перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? Решение Привожу решен... text/html 2021-03-10T21:48:50+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_254&rev=1615402130 Конкурсная задача ММ254 (6 баллов) Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить... text/html 2021-03-10T21:50:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_255&rev=1615402209 Конкурсная задача ММ255 (7 баллов) Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова,... text/html 2021-03-10T21:51:29+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_256&rev=1615402289 Конкурсная задача ММ256 (8 баллов) При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}2 +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x. Решение Привожу решени... text/html 2021-03-10T21:53:00+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_257&rev=1615402380 Конкурсная задача ММ257 (9 баллов) Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237 Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался нек... text/html 2021-03-10T21:54:18+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_258&rev=1615402458 Конкурсная задача ММ258 (7 баллов) Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). Решение Пр... text/html 2021-03-10T21:56:26+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_259&rev=1615402586 Конкурсная задача ММ259 (8 баллов) Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть a) равновелик; б) подобен; в) равен исходному? Решение Привожу решения Дениса Овчинникова и ... text/html 2021-03-10T21:57:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_260&rev=1615402660 Конкурсная задача ММ260 (12 баллов) Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем... text/html 2021-05-16T08:22:11+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_261&rev=1621142531 Конкурсная задача ММ261 (4 балла) Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. Решение Привожу решения старожила Марафона Олега Полубасова, относительного новичка Мераба Лев... text/html 2021-05-16T08:24:09+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_262&rev=1621142649 Конкурсная задача ММ262 (3 балла) Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и... text/html 2021-05-16T08:25:54+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_263&rev=1621142754 Конкурсная задача ММ263 (4 балла) Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c? ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) Решение Привожу решения Анатоли... text/html 2021-05-16T08:27:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_264&rev=1621142837 Конкурсная задача ММ264 (4 балла) Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар. (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных дел... text/html 2021-05-16T08:28:52+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_265&rev=1621142932 Конкурсная задача ММ265 (5 баллов) Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатол... text/html 2021-05-16T08:30:14+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_266&rev=1621143014 Конкурсная задача ММ266 (7 баллов) Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта: 1) τ(n3 )=τ(n)2, где n – произв... text/html 2021-05-16T08:31:40+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_267&rev=1621143100 Конкурсная задача ММ267 (7 баллов) Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых... text/html 2021-05-16T08:33:17+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_268&rev=1621143197 Конкурсная задача ММ268 (9 баллов) Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимы... text/html 2017-12-21T12:37:45+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_mm45-46&rev=1513849065 Конкурсная задача ММ45-46 (30 баллов) Функция f(n) задается так: Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу. Начинаем отмечать числа 1, 2, 4, 7, 11, 16 и т.д. Значением f(n) будет то число, которое первым будет отмечено повторно. 45.1) Доказ... text/html 2021-05-24T15:51:56+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:rating&rev=1621860716 Еще четверо участников сошли с дистанции после первой задачи. Все туры ТЕКУЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИДИРУЮЩЕЙ ГРУППЫ УЧАСТНИКИ I-XII XIII XIVXV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI XXVII CУММА 1.Анатолий Казмерчук 257 ... text/html 2010-03-22T22:23:46+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:real-iv&rev=1269285826 Вашему вниманию предлагается очередной конкурс четырехступенчатых загадок (реалий). ПРАВИЛА КОНКУРСА Участникам конкурса будет предложено 7 загадок. К каждой загадке будет 4 подсказки. Но не все они публикуются одновременно. После публикации очеp... text/html 2016-05-09T14:04:25+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:rules&rev=1462791865 Участвовать в конкурсе могут все желающие. Марафон является (потенциально) бесконечным и состоит из отдельных конкурсов (туров). Каждый конкурс содержит 10 задач. В рамках некоторых туров проводятся дополнительные тематические конкурсы. Другие туры... text/html 2016-12-20T10:43:49+03:00 http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:table_for_a279681&rev=1482219829 О количестве диагоналей выпуклых многогранников. All possible numbers of diagonals of convex polyhedra having v vertices for 4 ≤ v ≤ 100. Possible values for the number of diagonals in a convex polyhedron with v vertices for 4 ≤ v ≤ 500. ...