Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения P/S при:
n = 4; (2 балла)
n = 5; (2 балла)
произвольном n, большем 3; (3 балла)

Решение
Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O.
На основании неравенства треугольника имеем:
AC < AB + BC
AC < AD + DC
BD < BA + AC
BD < BC + CD
Складывая эти неравенства, убеждаемся, что S < P.
Аналогично:
AB < AO + OB
BC < BO + OC
CD < CO + OD
DA < DO + OA
Отсюда P < 2S.
Таким образом, 1 < P/S < 2. Учитывая, что в прямогольнике, одна из сторон которого много длиннее другой, отношение P/S становится сколь угодно близким к 1, а ромбе, одна диагональ которого много длиннее другой, P/S становится сколь угодно близким к 2, делаем окончательный вывод, что весь интервал (1;2) входит в ответ.

Для выпуклого пятиугольника ABCDE раассуждения аналогичны предыдущим.
AC < AB + BC
BD < BC + CD
CE < CD + DE
DA < DE + EA
EB < EA + AB
Складывая, получаем S < 2P
Для получения ограничения с другой стороны рассмотрим еще 5 треугольников. Пусть K, L, M, N и O - точки пересечения диагоналей BE и AC, AC и BD, BD и CE, CE и AD, AD и BE соответственно и p - периметр KLMNO. Тогда
AB < AK + KB
BC < BL + LC
CD < CM + MD
DE < DN + NE
EA < EO + OA
Складывая получаем: P < S - p < S.
Таким образом, P < S < 2P, откуда 1/2 < P/S < 1. В выпуклом пятиугольнике, у которого четыре вершины очень близки друг к другу, а пятая расположена очень далеко от остальных, отношение P/S становится сколь угодно близким к 1. Если же две близких между собой вершины удалаются от остальных трех также близких между собой, то P/S стремится к 1/2. Таким образом, весь диапазон (1/2; 1) достижим.

Случай произвольного выпуклого n-угольника рассмотрим несколько менее строго.
Заметим, что росту отношения P/S способствует ситуация, когда одна вершина удаляется от остальных близких между собой вершин. Чтобы найти предел, к которому асимптотически приближается отношение P/S, когда одна из вершин удаляется в бесконечность, будем считать две стороны и n-3 диагонали, исходящие из отодвигаемой вершины, примерно равными между собой и пренебрежем остальными сторонами и диагоналями. Таким образом, (недостижимая) верхняя грань значения P/S равна 2/(n-3).
Уменьшению значения P/S способствует ситуация, когда вершины разделены на две по возможности равные группы, одна из которых удаляется в бесконечность.
Предположим сначала, что n четно и равно 2k. Тогда вершины из разных групп соединены двумя сторонами, а количество диагоналей, концы которых лежат в разных группах, равно
2(k-1) + k(k-2) (из двух крайних вершин группы исходит по k-1 длинной диагонали, а из остальных k-2 вершин - по k длинных диагоналей). Поэтому при n=2k нижняя грань отношения P/S -
2/(k² - 2) = 8/(n² - 8).
Если n=2k+1, то группы содержат разное (2k и 2k+1) количество вершин. Число диагоналей, соединяющих вершины из разных групп - 2(k-1) + k(k-1). В этом случае нижняя грань отношения P/S -
2/(k² + k - 2) = 8/(4k² + 4k + 1 - 9) = 8/(n² - 9).

Окончательно получаем: диапазон изменения P/S -
(8/(n² - t; 2/(n-3)), где t=8 при четных и t=9 при нечетных n.
Заметим, просчитанные ранее частные случаи n=4 и n=5 согласуются с общей формулой.

Награды

На эту задачу было получено всего одно решение.
Призовых баллов за это решение (в котором, в частности, утверждается, что у подобных многоугольников разное (!) отношение P/S) не присуждено.