Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная
пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы
распределены по вершинам тетраэдра так:
а) (3, 1, 0, 0); (1 балл)
б) (2, 2, 0, 0); (1 балл)
в) (2, 1, 1, 0); (1 балл)
г) (1, 1, 1, 1)? (2 балла)
д) Существует ли тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, а все
ребра имеют целочисленную длину? (3 балла)
Решение
а) Нет.
Пусть все плоские углы при вершине A тетраэдра ABCD прямые. Тогда легко убедиться
(например, с помощью теоремы косинусов), что треугольник ABC - остроугольный.
б) Да.
Достаточно взять ломаную из трех попарно перпендикулярных отрезков AB, BC, CD и
достроить ее до тетраэдра ABCD. Тогда углы ABC, ABD, BCD и ACD будут прямыми.
в) Нет.
Пусть плоские углы ABC, ABD и BCD тетраэдра ABCD прямые. Тогда AB, будучи
перпендикулярно BC и BD перпендиулярно плоскости BCD и, значит перепендикулярно
CD. Следовательно, CD перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости ABC
и, значит, перпендикулярно AC. Таким образом, угол ACD тоже прямой и мы
имеем случай б).
г) Нет.
Возможны (точнее, они невозможны, но это еще предстоит доказать) два случая:
1) Одно из ребер тетраэдра ABCD (например, AB) является гипотенузой двух прямоугольных
треугольников.
Ясно, что если вращать треугольник ABD вокруг AB расстояние CD
станет максимальным, когда точка D будет лежать в плоскости ABC, по разные стороны
с C от прямой AB. В этом случае точки A, B, C, D будут лежат на одной окружности.
Углы CAD и CBD могут оба оказаться прямыми, только если CD будет диаметром (а вся
фигура ABCD прямоугольником, а не тетраэдром).
В этом случае AC2+AD2 = CD2 и
BC2+BD2 = CD2.
Если же точка D не лежит в плоскости ABC, то CD станет меньше и хотя бы одно из
из приведенных выше пифагоровских соотношений будет нарушено.
2) Каждое ребро тетраэдра является гипотенузой не более чем в одной грани.
Пусть в грани ABC угол C - прямой. Тогда AC<AB и CB<AB. Не нарушая общности рассуждений,
можно положить, что в грани ABD прямым углом будет B. Тогда AB<AD. В грани
ACD прямым углом теперь может быть только A (иначе гипотенуза будет короче катета).
Тогда AD<CD. Итак прямые углы уже есть при вершинах A, B и C. Но в грани
BCD угол D не может быть прямым (иначе опять получится, что гипотенуза короче
катета). Значит и 2-й случай невозможен.
д) Да.
Обсуждение
Наиболее типичной ошибкой при решении этой задачки (а я давал ее в разных аудиториях)
является обнаружение в пункте г) 'тетраэдра' с ребрами AB=CD=3, AC=BD=4, BC=AD=5
и подобных ему.
Награды
Маша Никулина получает 4 призовых балла (правильные решения пунктов а) и в),
правильный ответ, но со странным примером, к пункту б), правильный, но неполный ответ к
пункту г)). Вячеслав Пономарев получает 3 призовых балла (правильное решение пунктов
a), б), в)).
Понятно, что это задачка уже теоретико-числовая, а не геометрическая.
Поиск подходящих троек (a,b,c) можно ускорить, если заметить,
что a2+b2+c2 есть
квадрат, представимый в виде суммы квадратов более чем одним способом.
Известно, что число, свободное от квадратов представляется в виде суммы квадратов
более чем одним способом, если оно есть произведение нескольких простых чисел,
каждое из которых сравнимо с 1 по модулю 4.
Применительно к нашей задаче (учитывая, что само число
a2+b2+c2 является
квадратом) поиск числа a2+b2+c2
надо вести среди чисел вида 52*132 и т.п.
Подходящими (примитивными) тройками являются, например:
(153, 104, 672), ( 495, 840, 448), (3740, 1680, 819), (13940, 11088, 9555) и многие
другие.
Полагаю, что примитивных (взаимно простых в совокупности) троек (a,b,c), удовлетворяющих
условию пункта д) бесконечно много. Но доказательства этого утверждения у меня нет.