Найти все простые p, такие что числа 2p³+6p²+2p+3, 4p³+10p²+2p+9, 5p³+10p²+2p+12, 5p³+8p²+7p+5 просты.

Решение

Введем обозначения:
a = 2p³+6p²+2p+3;
b = 4p³+10p²+2p+9;
c = 5p³+10p²+2p+12;
d = 5p³+8p²+7p+5.
Разложим данные в условии выражения a, b, c, d как многочлены от p по модулю 13 (те, кто не знаком с понятием сравнимости по модулю, могут заменить этот шаг рассморением остатков от деления a, b, c, d на 13 при при всех возможных остатках от деления на 13 числа p).
a == 2(p-1)(p-3)(p-6) (mod 13);
b == 4(p-7)(p-11)(p-12) (mod 13);
c == 5(p-5)(p-9)(p-10) (mod 13);
d == 5(p-2)(p-4)(p-8) (mod 13).
Ясно, что при любом простом p не кратном 13 одно из чисел a, b, c, d будет кратно 13 (и все они будут большие 13).
Поэтому остается рассмотреть единственную возможность p = 13.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что при этом значении p числа a = 5437, b = 10513, c = 12713 и d = 12433 - простые.
Ответ p = 13.

Награды

За правильное решение этой задачи Борис Бух получает три призовых балла.