Доказать, что уравнение x₁² + x₂³ + ... + x_n-2^n-1 = x_n-1ⁿ (*) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:
a) при любом нечетном простом n (4 балла);
б) при n=9 (6 баллов).

Решение

Как выяснилось, благодаря марафонцам, решившим эту задачу, подразделение ее на пункты а) и б) оказалось весьма искусственным.
При n=5 имеем решение: 2²+3³+1⁴=2⁵
Это решение можно продолжить для любого n, большего 4:
2²+3³+1⁴+2⁵=2⁶;
2²+3³+1⁴+2⁵+2⁶=2⁷;
И т.д.
Для случая n=3, наличие решений очевидно.
Не сложно найти решение и для n=4: 28²+8³=6⁴. Но из наличия хотя бы одного решения сразу вытекает наличие бесконечного числа решений. Действительно, если (a₁, a₂,..., a_n) - решение, а s - НОК чисел 2, 3,.., n, то при любом k (a₁k^s/2, a₂k^s/3,..., a_nk^s/n) - тоже решение.
Таким образом, (*) имеет бесконечно много решений при любом n, большем 2.

Обсуждение

Объясню, откуда взялись пункты а) и б) в условии.
Составляя эту задачу, я отталкивался от такого рассуждения:
Пусть n простое число большее 3. Обозначим a = n-2, k = НОК(2, 3,.., n-1), k*n = m.
В силу простоты n, n и k взаино просты. Поэтому среди чисел k+1, 2*k+1,..., (n-1)*k+1 найдется кратное n. Обозначим его s+1.
Тогда s = 2*s₁ = 3*s₂ =... (n-2)*s_n-2 и (a^(s₁)² + (a^(s₂))³ +...+ (a^(s_n-2))^n-1 = (a^(s_n-1)ⁿ
При составном n такое рассуждение уже не проходит. При n=9 можно сконструировать решение (*), оперируя степенями тройки и пользясь соотношением ((3^k+3^k+3^k)+ 3^k+1+3^k+1)+3^k+2+3^k+2=3^k+3.
Похожую конструкцию можно соорудить и отталкиваясь от степеней двойки.
Получится совсем уж похоже на то, что предложено перечисленными ниже участниками марафона и приведено в разделе 'решение'.
Несмотря на это сходство, решения, проходящего для любого n, больше 4, я не заметил.

Награды

За правильное (более универсальное, чем авторское) решение этой задачи Владимир Трушков, Макс Алексеев и Борис Бух получают по 12 призовых баллов.