Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры?

Решение

Пусть ABCD - исходный квадрат, а прямая MN (M лежит на AB ближе к A, N - на CD) проходит через центр квадрата, точку O. Пусть, далее, B' и C' - точки, симметричные соответственно точкам B и C отностиельно прямой MN, P - точка пересечения прямых AD и MB', Q - точка пересечения прямых AD и B'C' и R - точка пересечения прямых CD и B'C'.
Очевидно, что площадь фигуруы, полученной перегибанием квадрата по MN, равна сумме половины площади квадрата и площадей треугольников PQB' и RNC'.
Докажем, что четыре прямоугольных треугольника PMA, PQB', RQD и RNC' равны. Во-первых, очевидно подобие этих треугольников. Для доказательства их равенства докажем равенство соответствующих катетов. Пусть AM = a. Ясно, что C'N = CN = a. Пусть X - точка на BC такая, что BX = a. Тогда Q - образ X одновременно при центральной симметрии относительно O и осевой симметрии относительно MN. Поэтому DQ = B'Q = BX = a и равенство треугольников доказано.
MB' = MB = 1-a. Но PB' = PA. Поэтому MA+AP+MP = 1. Из всех прямоугольных треуогольников с периметром 1 наибольшую площадь будет иметь тот, у которого будет наибольшим радиус вписанной окружности - r (площадь равна r/2). Ясно, что наибольшим r будет обладать равнобедренный треугольник. Значит, (2+Ö2)a = 1. Отсюда a = 1-Ö2/2, а искомая площадь равна 1/2 + (1-Ö2/2)² = 2 - Ö2.

Обсуждение

Предлагая данную задачу, я не заметил изопериметричности возникюющих треугольников. Поэтому мне не удавалось найти элементарного обоснования того интуитивно ясного факта, что максимум площади достигается, когда треугольники будут равнобедренными. Мое решение было таким:
Обозначим угол ABB' через a. Тогда интересующая нас площадь будет выражаться формулой
(sina - 2cosa + 2cos²a)/(2cosa cos2a)
Исследуя эту функцию на экстремум получим, что максимум достигается при a = p/8, откуда следует равнобедренность возникающих прямоугольных треугольников.

Награды.

За правильное (более изящное, чем авторское) решение задачи Андрей Бежан получает 5 призовых баллов.