Решение

Приведу решение пункта 3, наиболее громоздкое из всех. Рассуждения для пунктов 1 и 2 проводятся аналагочно (но с меньшим количеством выкладок). Поэтому для этих случаев я ограничусь только ответами.

Прежде всего заметим, что количество натуральных делителей натурального числа k, большего 1, равно (a₁+1)(a₂+1)... (a_s+1), где k = p₁^a_1p₂^a_2 ...p_s^a_s

Ясно, что n = 1 подходит.
Пусть n = p - простое. Тогда при p=2 (*) не имеет решений, а при p>2 - единственное решение k = p^p-1.
Пусть теперь k = p^a, где a>1.
Если p>5, то (*) имеет бесконечно много решений.
Например, подходят k вида p^{p^(a-1)-1}q^p-1, где q - любое простое, отличное от p.
При p = 2 (*) имеет единственное решение при n = 8 (k = 2⁷) и n = 16 (k = 2¹⁵).
При p = 3 единственное решение (*) получается при n = 9 (k = 3⁸).

Если n имеет не менее двух различных простых делителей, больших 2, то (*) имеет более одного решения.
Пусть, например, n = p^aq^b. Тогда k₁ = p^{p^a-1}q^qb-1 и k₂ = p^{q^b-1}q^pa-1 являются решениями (*).
Добавление других простых множителей может только увеличить количество решений.

Остается разобрать случай n = 2^ap^b. Пусть сначала p = 3. Тогда (*) имеет единственное решение для следующих n:
n = 18 (k = 2²3⁵):
n = 24 (k = 2⁷3²):
n = 36 (k = 2⁵3⁵):
Осталось рассмотреть случай n = 2^ap^b, где p>3.
При b>1 (*) имеет более одного решения.
Такая же картина при a>2.
При n = 2p (*) вовсе не имеет решений.
А вот случай n = 4p подходит (k = 2^p-1p³).

Таким образом, ответ к пункту 3:
1, 8, 9, 16, 18, 24, 36, p (где p - нечетное простое) и 4p (где p - простое, большее 3).

Ответ к пункту 1:
1, 4, p (где p - простое число).

Ответ к пункту 2:
8, 27, 2p, p² (где p - простое число).

Награды.

За правильное решение задачи Влад Франк получает 9 призовых баллов.