Васе Пупкину задали задачку:
'В квадрат с целочисленной стороной a вписан правильный треугольник, площадь которого также выражается целым числом. Найти площадь треугольника.'
Вася (которому число a было известно) выяснил, что задача имеет единственное решение, и имела бы единственное решение и для квадрата со стороной 2a.
Чему равна площадь треугольника?

Решение

Докажем, что наибольшая площадь достигается, когда одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата. Это легко сделать с помощью производной, но можно обойтись и очевидными соображениями:
Пусть правильный треугольник KLM вписан в квадрат ABCD так, что K совпадает с A, L лежит на ВС, а M - на CD. Тогда углы между AB и KL и между AD и KM равны (по Pi/12 каждый). Начнем смещать точку K в с сторону точки D. Тогда угол ф между AD и KM будет увеличиваться, ведь точка M смещается в сторону точки C. Но тогда угол между AB и KL будет уменьшаться, ведь он равен Pi/2-Pi/3-ф. Но тогда сторона треугольника, равная a/cos(ф) будет уменьшаться пока не достигнет значения a (когда KL станет параллельным AB).
Таким образом, наибольшее значение площади
S(a)=a²sqrt(3)/4cos²(Pi/12), а наименьшее - s(a)=a²sqrt(3)/4.
На отрезке [s(a), S(a)] по условию лежит ровно одно целое число. Это выполняется для a из множества {3, 4, 5, 6, 7}. Только при a=3 число 2a тоже принадлежит указанному множеству.
Таким образом, a=3, и площадь треугольника 4 - единственное целое числа, принадлежащее отрезку [s(3), S(3)].

Награды

За правильное решение задачи №28 Влад Франк и Андрей Бежан получают по 5 призовых баллов.
В решении Павла Егорова содержатся верные рассуждения. Но из-за ошибочного утверждения, что угол между AB и KL (в обозначениях приведенного решения) может достигать значения Pi/6, сделаны неверные выводы. Павел Егоров получает 3 призовых балла.