Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами?

Решение

Ясно, что надо минимизировать косинус угла между векторами. Произведение модулей векторов постоянно и равно 1+4+...+n². Минимум же скалярного произведения достигается, например, когда один из векторов - (1, 2,.., n), а другой - (n, n-1,.., 1).
Для доказательства рассмотрим выражение 1*a₁+2*a₂+...+ n*a_n, где (a₁, a₂,..., a_n) - некоторая перестановка чисел 1, 2,..., n.
Пусть для некоторых i и j выполняются соотношения i<j и a_i>a_j. Тогда, поменяв местами a_i и a_j мы уменьшим скалярное произведение на (j-i)*(a_i-a_j).
Учитывая, что 1+4+...+n² = n*(n+1)*(2n+1)/6, а
1*n + 2*(n-1) +...+ (n-1)*2+n*1 = n*(n+1)*(n*2)/6, окончательно получим, что наибольший угол между векторами будет равен arccos((n+2)/(2n+1)).
Любопытно, что с ростом n этот угол асимптотически приближается к Pi/3.

Награды

Зп правильное решение этой задачки Влад Франк, Макс Алексеев и Вячеслав Пономарев получают по 3 призовых балла.