Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим четырехугольником четырехугольника ABCD.

Пусть, далее, ABC - некоторый треугольник.
Описать геометрическое место точек D таких, что сопутствующий четырехугольник четырехугольника ABCD - трапеция.

Решение

Данную задачу несложно решить методами аналитической геометрии (что и сделали 'марафонцы', приславшие свои решения. Я же изложу элементарное решение, доступное семикласснику (из чего, конечно же, не следует, что найдется много семиклассников способных самостоятельно решить эту задачку).

Пусть точка Do такая, ABCDo - параллелограмм и Fo - середина CDo. Покажем, что для параллельности Kl и MN достаточно принадлежности точки D прямой HDo.
Возьмем D на этой прямой. Тогда FFo параллельна DDo как средняя линия треугольника CDDo. Но BFo параллельна HDo. Значит, точки B, Fo, F лежат одной прямой и прямые BF и DH, содержащие отрезки KL и MN, параллельны.
Аналогично докказывается, что для параллельности KN и LM достаточно принадлежности точки D прямой, проходящей через Do параллельно AE (обозначим ее p).
Покажем необходимость этих условий для параллельности соответствующих прямых. Пусть, например, в сопутствующем четырехугольнике четырехугольника ABCD стороны KN и LM параллельны.
Обозначим через Go точку пересечения прямых CG и ADo. Очевидно, что четырехугольник AECGo - параллелограмм (AE параллелльно CGo, а CE параллельно AGo). Поэтому AGo = EC = ADo/2. Но AG = AD/2. Поэтому GGo - средняя линия треугольника ADDo и прямые AE и DDo параллельны.
Аналогично показывается необоходимость принадлежности точки D прямой HDo для параллельности KL и NM.
Итак, интересующее нас г.м.т. расположено на прямых HDo и SDo (где S - точка пересечения прямых AC и p). Осталось отобрать на полученных прямых такие точки D, для которых четырехугольник, сопутствующий ABCD будет трапецией, т.е. выпуклым четырехугольником, у которого две стороны параллельна, а две другие - нет.
Пусть R - точка пересечения прямой HDo с прямой BC.

Искмомым г.м.т будет объединение двух множеств: 1) множество точек прямой HDo без точки Do (для нее сопутствуующий четырехугольник - параллелограмм) и точек отрезка HR (для его концов сопутствующий четырехугольник вырождается в треугольник, а для внутренних точек и ABCD и сопутсвующий четырехугольник будут самопересекающимися); 2) луч SDo без начала и точки Do (для противоположного луча оба четырехугольника будут самопересекающимися).

Отмечу, что в описанное выше г.м.т. вошли и те точки, для которых четырехугольник ABCD не является выпуклым. В этом случае сопутствующий четырехугольник уже не лежит целиком внутри ABCD, но все равно остается трапецией.

Обсуждение

Почему эта довольно простая задача оценена в 10 балов?
В свое сpемя я помещал в RU.MATH задачу следующего содеpжания:
В каком диапазоне может изменяться отношение площади пpоизвольного выпуклого четыpехугольника к площади сопутствующего четыpехугольника и для каких четыpехугольников это отношение pавно 5?

Задача оказалась довольно тpудной. С пеpвой попытки ее немного пообсуждали, но так и не pешили. Чеpез год я поместил задачу повтоpно. Hа этот pаз ее удалось pешить независимо дpуг от дpуга мне и Андpею Ахметели.
Еще позже я пледложил эту задачу и кpуг пpилегающих вопpосов в качестве темы для исследования на школьном факультативе. В качестве пpилегающих вопpосов возник и этот. Оказалось, что наличие паpаллельных стоpон у сопутствующего тpеугольника является необходимым и достаточным условием pавенства упомянутого выше отношения 5.
Более аккуpатно.
Пусть ABC - пpоизвольный тpуельник и q(D) - отношение пложади четыpехугольника ABCD к площади сопутствующего четыpехугольника. Тогда следующие тpи утвеpждения pавносильны:
1) q(D) = 5;
2) сопутствующий четыpехугольник выпуклый и имеет паpу паpаллельных стоpон;
3) D лежит на тех участках хотя бы одной из двух пpямых, описанных в твоём pешении, котоpые пpиводят к несамопеpсекающимся четыpехугольникам ABCD.
(Вупуклость ABDCD не важна. Более того, pезультат можно pаспpостpанить даже на самопеpесекающиеся четыpехугольники, если оговоpить специальный способ подсчета их площадей.)

Находясь в запаpке и пpедвидя, что в ближайшее время моя загpуженность будет не меньше, я наспех набpосал паpу новых задач для маpафона. Исходную задачу я pешил не бpать, из-за засвеченности в RU.MATH. Поэтому пpедложил ту, котоpую пpедложил. Hо из-за спешки не заметил, что наиболее тpудная часть утвеpждения, а именно импликация 1 => 2 (или 1 => 3), осталась за кадpом. Поскольку свою оплошность я заметил уже после того, как на задачу был получен первый ответ, менять цену задачи я не стал.

Отмечу, что ответ на первый вопрос исходной задачи из RU.MATH таков: Отношение площади исходного выпуклого четырехугольника к площади сопутствущего может изменяться в диапазоне [5, 6).

И еще одно любопытное замечание:
Прозвольный четырехугольник определяется пятью своими независимыми элементами, а произвольный параллелограмм - тремя. Поэтому вполне закономерно, что признаки параллелограмма содержат, как приавило, по два соотношения:
противоположные стороны равны (1) и параллельны (2);
диагонали AC (1) и BD (2) делятся пополам точкой пересечения;
пары углов ABC и ADC (1), а также BAD и BCD (2) равны между собой;
etc.
В терминах сопутствующих четырехугольников можно сформулировать признак параллелограмма, содержащий всего одно соотношение.
Для этого отметим, что сопутствующих четырехугольников два (второй получается на пересечении прямых AF, BG, CH и DE).
Тогда легко видеть (при условии что все вышеизложенное уже доказано), что:

Выпуклый четырехугольних является параллелограммом тогда и только тогда, когда сумма площадей сопупствущих четурехугольников составляет 2/5 площади исходного четырехугольника.

Награды

За правильное решение этой задачи Влад Франк получает 10 призовых баллов. За pешение, содеpжащее один незначительный пpокол, Иван Козначеев получает 9 пpизовых баллов. Мигель Митрофанов, в решении которого не исключены вырожденные и самопересекаюшиеся сопутствующие четырехугольники, получает 6 призовых баллов.