Васе и Пете задали задачку:
"В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы."
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.
У Васи получились ответы 3 и Ö3, а у Пети - 2 и Ö2.
Кто из них ошибся?

Решение

Зафиксируем меньший катет BC треугольника ABC, взяв его равным 1, а длину большего катета AB обозначим через x.
Тогда отношение площади треугольника ACD к площади треугольника BCD будет равно x (поскольку биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих, а высота, опущенная из C, у них общая).
Обозначим через r₁, p₁, S₁ и r₂, p₂, S₂ радиус вписанной окружности, полупериметр и площадь тьеугольников BCD и ACD соответственно. Тогда S₁ = r₁*p₁ и S₂ = r₂*p₂, откуда
r₂/r₁ = (S₂*p₁)/ (S₁/p₂) = x*p₁/p₂ (1)
Легко видеть, что BD = Ö(1 + x²)/(1 + x),
AD = x*BD и CD = x*Ö2/(1 + x).
Подставляя эти значения в выражение (1), получим
r₂/r₁ = (1 + x + x*Ö2 + Ö(1+x²))/(1 + x + Ö2 + Ö(1+x²)) (2)
Не трудно проверить, что с ростом x от 1 до бесконечности (2) монотонно возрастает от 1 до 1 + Ö(2)/2.
Учитывая, что отношение радиусов Ö3, которое получилось у Васи, не входит в указанный диапазон, делаем вывод, что он ошибся.

Обсуждение

Разумеется, ответ Пети тоже не обязан быть верным.
Более того, учитывая, что его ответ получается при
b = 6 + 5*Ö2 + Ö(38 + 28* Ö2), a = (5 + 2*Ö2 + Ö(19 + 14* Ö2)*(Ö2 - 1))/2, можно с уверенностью предположить, что Петя тоже ошибся (или что учитель, задавший мальчикам эту задачу, - садист) ;-)

Награды

За решение этой задачи Иван Козначеев получает 7 призовых баллов (два балла добавлены за нахождение значений a и b, при которых получается Петин ответ), Мигель Митрофанов - 5 призовых баллов, а Влад Франк - 3 призовых балла.