Эта задачка перекликается с задачей №29.
В качестве основания системы счиления рассматриваются натуральные числа, большие 1.

Назовем число 'полукубическим', если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).
1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)
2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)
3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)

Решение

1. Число, записанное двумя единицами в системе счисления с основанием g = a³ - 1, будет полукубическим.

2. Например, число a = 38829 в системе счисления с основанием g = 80, записывается цифрами 6, 5 и 29. Приписав его к себе, получим куб числа 2709.

3. Известно, что уравнение x² - 2y² = -1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. (Легко показать, что пара (x_n, y_n) будет его решением тогда и только тогда,
когда x_n + y_n*Ö2 = (1 + Ö2)^2n-1.)
Таким образом, имеется бесконечно много соотношений типа:
7² + 1 = 2*5²
41² + 1 = 2*29²
239² + 1 = 2*169²
...............
x_n² + 1 = 2y_n²
...............
Но каждое из этих соотношений дает двузначное полукубическое число. Таковым будет число 4y_n, записанное в системе счисления с основанием x_n.
В самом деле, 4y_n двузначно, поскольку x_n < 4y_n < x_n². В то же время, приписывая число 4y_n, записанное в системе c основанием x_n, к себе, получим число
(x_n² + 1)*4y_n = (2y_n)³.

Обсуждение

Можно явно указать цифры двузначных полукубических чисел, построенных в приведенном решении.
Первая цифра всегда будет 2, а вторая определяется рекуррентно: b₀ = 2, b₁ = 6, b_n = 6b_n-1 - b_n-2.

Любопытно, что последовательность x_n составляют взятые через один элементы последовательности f(n) из задачи №38.

Разумеется, двузначные полукубические числа не исчерпываются построенными. Существуют другие двузначные полукубические числа при g = x_n.
Можно получать другие бесконечные серии, стартуя с уравнения x² - d*y² = 1, и взяв другие (отличные от двойки) d.
Можно строить серии, отталкиваясь не от уравнения Пелля, а от леммы Гензеля. Этим путем пошли Влад Франк и Мигель Митрофанов. (Решение Ивана Козначеева похоже на решение автора.)

Мне неизвестно, существуют ли полукубические числа в системе счисления с заданным основанием g. В частности, я не знаю, существуют ли десятичные полукубические числа.

Награды

За правильное решение задачи Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 8 призовых баллов.