Вновь муха и тетраэдр.

На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основания остается постоянным и равняется arcsin Ö(2/21).
Какое расстояние преодолеет муха, когда она доползет до вершины тетраэдра?
Сколько раз муха пересечет ребра тетраэдра к тому моменту, когда позади останется 90% пути?

Решение

На этот раз развернем не тетраэдр, а путь мухи по нему. Разворот будем производить вокруг вертикальной оси так, чтобы в результате получился отрезок, наклоненный к плоскости основания на угол arcsinÖ(2/21). Верхняя точка этого отрезка будет удалена от плоскости основания на Ö(2/3) (высоту тетраэдра). Тогда путь мухи составит Ö (2/3)/Ö(2/21) = Ö7.

Найдем длину первого участка пути. Пусть муха стартовала в вершине A основания ABC и пересекла ребро BD в точке K, точка L - проекция K на плоскость ABC, а O - центр основания. Пусть, далее, KL = x. Тогда AK = xÖ(21/2), BK = xÖ(3/2) (из подобия треугольников BKL и BDO). По теореме косинусов 21/2*x² = 3/2*x² + 1 - xÖ(3/2). Отсюда x = Ö(6)/9, т.е одной трети OD, а AK = Ö(7)/3, т.е. одной трети всего пути. Оставшийся путь пролегает по тетраэдру, который подобен исходному с коэффициентом 2/3. Таким образом, путь мухи есть сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2/3.
Поскольку c = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + 16/243 < 0.9, а c + 32/729 > 0.9, муха преодолеет 90% пути после того, как пересечет ребра 5 раз.

Награды

С этой задачкой успешно справились Влад Франк, Олег Полубасов, Мигель Митрофанов Алексей Ковальский, Андрей Богданов, Алексей Бурдин и Владимир Марунин. Все они получают по три призовых балла. Андрей Бежан, определивший к какой точке муха первый раз пересечет ребро, получает 1 призовой балл.