1) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:...:n? (1 балл)
2) Верно ли, что для любого положительного рационального числа a существуют такое n и такой способ расстановки скобок, что значение выражения 1:2:3:...:n станет равным а? (2 балла)

Решение

1) При любой расстановке скобок 1 окажется в числителе, а 2 - в знаменателе. Остальные числа можно загнать в числитель, расставив скобки так:
1:(((...(2:3):4:):5)...:n).
Поэтому наибольшим значением выражения (при n > 1) будет n!/4.
2) Нет, не верно.
Например, нельзя получить число 2.
При n = 2 двойка попадает в знаменатель. Для того чтобы она оказалась в числителе, надо взять n не меньше 4. Но тогда либо в числитель, либо в знаменатель выражения попадет тройка. Для ее нейтрализации придется увеличивать n, по крайней мере, до 6. При этом в числитель или знаменатель выражения попадет пятерка...
Поскольку (постулат Бертрана) между числами p и 2p лежит хптя бы одно простое число закончить процесс нейтрализации "лишних" простых множителей не удастся.

Oбсуждение

Легко видеть, что каждое следующее n, начиная с 3, назависимо от распределения предыдущих, можно отправить как в числитель, так и в знаменатель. Отсюда следует, что оценкой сверху для количества различных чисел, получаемых расставовкой скобок в выражении 1:2:3:...:n (первоначальный вопрос пункта 1), является число 2^n-2.
Эта оценка точна вплоть до n = 7. В общем случае точный ответ на первоначальный вопрос первого пункта задачи мне неизвестен.

Награды

За правильное решение этой задачки Иван Козначеев, Алексей Ковальский, Виктор Филимоненков и Влад Франк получают по три призовых балла. Дмитрий Милосердов получает 4 призовых балла (один балл добавлен за наиболее оперативную реакцию на мой прокол).

Эстетическая оценка задачи - 2 балла.