Продолжаем разминаться

Конкурсная задача ММ182 (3 балла)

Назовем натуральное число n суперделимым, если:
1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;
2) для любого собственного подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.
Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел.

Решение

Привожу решение Олега Полубасова.

Обсуждение

Конечно, прийти к тому, что суперделиммыми будут все натуральные числа вида 2^a3^b5^c7^d, где a>2, b>1, c,d>0 совсем не трудно. Сама эта легкость казалась мне достаточным намеком на то, я жду не только решения, но и обобщений ММ182. Тем не менее, обобщать взялись далеко не все. Что ж, это законное право конкурсантов. А законное право ведущего, поощрять тех, кто не только решил, но и обобщил задачу

Замечу, то, что в предыдущем абзаце именовалось «обобщениями» по сути означает отсутствие обобщений. А именно: Указанная серия суперделимых чисел - единственная. После нескольких попыток построить другие серии невозможность такого построения становится очевидной. Но доказательство не столь очевидно, как само утверждение. Не удается отбросить и характеристику «собственное» (точнее, «нетривиальное», как справедливо указали мне несколько конкурсантов) во втором пункте условия.

Награды

За решение и обобщение ММ182 Олег Полубасов получает 6 призовых баллов, Сергей Половинкин - 5 призовых баллов. За решение задачи ММ181 Андрей Халявин, Виктор Филимоненков, Евгений Гужавин, Анатолий Казмерчук, Николай Дерюгин, и Дмитрий Пашуткин получают по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.1 балла

---