Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2020/03/03 09:49]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
-Всех участников и болельщиков **с Новым годом!**
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Новых вам задач и новых свершений в 2020 и последующих!
-Завершаен **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Лауреатом стал опытный марафонец **Анатолий Казмерчук!**
-Серьезную конкуренцию Анатолию составили новички **Константин Шамсутдинов** и **Мераб Левиашвили**, поделившие второе место.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
-На данный момент текущих задач нет.
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
 ====== Разбор задач ======
 ----
-===== ММ250 =====
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм250.pdf|авторское}}.
-**Обсуждение**
-При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\
-Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу, я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным!
-Как обычно, последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.
-"Ощущая дыхание в спину" со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.\\
-Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно...\\
-Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.
-В конце решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения, по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.
-**Награды**
-За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 17;\\
-Мераб Левиашвили - 15;\\
-Константин Шамсутдинов - 15;\\
-Виктор Филимоненков - 14;\\
-Владислав Франк - 6.
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ----
-===== ММ249 =====
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений?
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}, {{:marathon:shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
 **Обсуждение**
-Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах.
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали.
-Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные).
-Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.
 **Награды**
-За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Мераб Левиашвили - 15;\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
-Константин Шамсутдинов - 12;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
-Анатолий Казмерчук - 12;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
 Виктор Филимоненков - 10;\\
-vpb - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Владислав Франк - 9.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов **
-----
-===== ММ248 =====
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:marathon:merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:marathon:fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}.
-(Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.)
-**Обсуждение**
-ММ248 далась не всем конкурсантам.
-Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи.
-Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка!
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко.
-В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).
-К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число.
-(Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)
-**Награды**
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Владислав Франк - 9;
-vpb - 9;
-Анатолий Казмерчук - 8;
-Константин Шамсутдинов - 8;
-Виктор Филимоненков - 8;
-Мераб Левиашвили - 8;
-Александр Домашенко - 3;
-Владимир Дорофеев - 1;
-Анна Букина - 1.
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ----
-===== ММ247 =====
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
+===== ММ269 =====
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)}
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n).
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238.
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!)
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k.
-Ограничились :-(\\
-Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\
-Сколько целых значений принимает f<sub>k</sub>(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<sub>5</sub>(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<sub>k</sub>(n))) целых значениях f<sub>k</sub>(n) не подтвердилась)\\
-Ясно, что каждое свое значение f<sub>k</sub>(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?
-**Награды**
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Владислав Франк - 9;\\
-Константин Шамсутдинов - 9;\\
-Владимир Дорофеев - 8;\\
-Анна Букина - 7;\\
-Мераб Левиашвили - 7;\\
-Валентин Пивоваров - 6;\\
-Александр Домашенко - 6;\\
-waxter - 6;\\
-Виктор Филимоненков - 5.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
-----
-===== ММ246 =====
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm246.pdf|авторское}}.
-**Обсуждение**
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники.
-Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется.
-Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.
-Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-)
-Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.
-К вопросу о красоте. \\
-ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\
-Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного.
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные.
-Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных.
-А для разносторонних, попавших в ответ это не так.
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
 **Награды**
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Александр Домашенко - 7;\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-Анатолий Казмерчук - 7;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-Константин Шамсутдинов - 7;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Мераб Левиашвили - 7;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
+Александр Романов - 11;\\
-Валентин Пивоваров - 5;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
-Владислав Франк - 5;\\
+Денис Овчинников - 7.
-Анна Букина - 5;\\
-Владимир Дорофеев - 4.\\
 **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ245 =====
-**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов)
+===== ММ268 =====
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.
-**Решение**
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и {{:marathon:fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое).
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-**Обсуждение**
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности.
-Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение площадей", а не "найти отношение площади первого к площади второго".
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным.
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.
-**Награды**
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Александр Домашенко - 6;\\
-Анатолий Казмерчук - 5;\\
-Константин Шамсутдинов - 5;\\
-Мераб Левиашвили - 5;\\
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Анна Букина - 5;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Владимир Дорофеев - 5;\\
-Владислав Франк - 4;\\
-Валентин Пивоваров - 4.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла**
 ----
-===== ММ244 =====
-**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов)
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\
+===== ММ267 =====
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.
-Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\
-Б: И я не могу.\\
-В: И я тоже.\\
-A: Тогда я их знаю!\\
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\
-Что это за тройка цифр? \\
-Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.
-**Решение**
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}.
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-**Обсуждение**
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.
+----
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:\\
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;\\
-разобраться в программе, написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;\\
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;\\
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;\\
-наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения.
-Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях.
+===== ММ266 =====
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори.
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я).
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-На [[https://www.facebook.com/groups/mathpuz/1378859588956546/?comment_id=1378879308954574&reply_comment_id=1379017442274094&notif_id=1569669688346425&notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье).
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Награды**
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Анатолий Казмерчук - 7;\\
-Константин Шамсутдинов - 6;\\
-Мераб Левиашвили - 6;\\
-Владислав Франк - 6;\\
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Анна Букина - 4;\\
-Валентин Пивоваров - 4;\\
-Валентина Колыбасова - 3;\\
-Антон Никонов - 3;\\
-Александр Домашенко - 3;\\
-Лев Песин - 3.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**
 ----
+===== ММ265 =====
-===== ММ243 =====
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β.
+----
-**Решение**
+===== ММ264 =====
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:marathon:bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи).
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Еще одно решение ({{:marathon:fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-**Обсуждение**
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\
-Тем самым, они оправдали ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи.
-Соответственно, и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона.
-**Награды**
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Анатолий Казмерчук - 6;\\
-Александр Домашенко - 5;\\
-Константин Шамсутдинов - 5;\\
-Мераб Левиашвили - 5;\\
-Владислав Франк - 5;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Анна Букина - 5;\\
-Валентин Пивоваров - 5;\\
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Антон Никонов - 3.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**
 ----
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-===== ММ242 =====
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов)
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-a) При каком наименьшем m такое возможно?\\
-b) При каком наименьшем n такое возможно?\\
-c) При каком наименьшем m+n такое возможно?
-**Решение**
+----
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
-**Обсуждение**
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет...
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-- 3 раза;\\
-- 2 раза;\\
-- 1 раз;\\
-- 1 раз;\\
-- 2 раза;\\
-- 2 рвза.
-Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием.
-Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.
-**Награды**
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 6;\\
-Владимир Дорофеев - 6;\\
-Александр Домашенко - 5;\\
-Константин Шамсутдинов - 5;\\
-Мераб Левиашвили - 5;\\
-Владислав Франк - 5;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Антон Никонов - 5;\\
-Анна Букина - 5;\\
-Валентин Пивоваров - 5;\\
-Виктор Филимоненков - 4.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-===== ММ241 =====
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-**Конкурсная задача ММ241** (4 балла)
-При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:marathon:ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
-**Обсуждение**
-На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений.
-Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.
-Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3.
-Участники разделись на 3 категории:\\
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\
-вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n.
-Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения.
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего.
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества.
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и приведение единичного примера не учитывались).
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).
-Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.
-**Награды**
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-Александр Домашенко - 6;\\
-Константин Шамсутдинов - 5;\\
-Анатолий Казмерчук - 4;\\
-Мераб Левиашвили - 4;\\
-Виктор Филимоненков - 4;\\
-Владислав Франк - 4;\\
-Валентина Колыбасова - 4;\\
-Антон Никонов - 4;\\
-Владимир Дорофеев - 4;\\
-Анна Букина - 2.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**
 ----
 ~~NOTOC~~