Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Архив Марафона

ММ210

Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)

1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤ c и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

Решение задачи 210


ММ209

Конкурсная задача ММ209 (9 баллов)

Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

Решение задачи 209


ММ208

Конкурсная задача ММ208 (7 баллов)

От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

Решение задачи 208


ММ207

Конкурсная задача ММ207 (13 баллов)

Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206

Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d).
1) найти наибольшее возможное значение A(n,1);
2) найти наибольшее возможное значение A(n,3);
3) найти A(2,2);
4) найти A(4,2);
5) доказать, что при подходящем n A(n,2) ≥ 8.

Решение задачи 207


ММ206

Конкурсная задача ММ206 (11 баллов)

Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) k = 18;
2) k = 20;
3) k = 22;
4) k = 202.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.

Решение задачи 206


ММ205

Конкурсная задача ММ205 (7 баллов)

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

Решение задачи 205


ММ204

Конкурсная задача ММ204 (5 баллов)

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

Решение задачи 204


ММ203

Конкурсная задача ММ203 (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

Решение задачи 203


ММ202

Конкурсная задача ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}?

Решение задачи 202


ММ201

Конкурсная задача ММ201 (3 балла)

Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса.

Решение задачи 201




 

 


Страница: [[marathon:archive]]

marathon/archive.txt · Последние изменения: 2016/11/15 16:13 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006