|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеАрхив МарафонаММ260Конкурсная задача ММ260 (12 баллов) Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231
Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если ММ259Конкурсная задача ММ259 (8 баллов)
Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть ММ258Конкурсная задача ММ258 (7 баллов) Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). ММ257Конкурсная задача ММ257 (9 баллов) Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237
Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа: ММ256Конкурсная задача ММ256 (8 баллов) При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}2 +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x. ММ255Конкурсная задача ММ255 (7 баллов) Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ММ254Конкурсная задача ММ254 (6 баллов) Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? ММ253Конкурсная задача ММ253 (5 баллов) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB1 перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? ММ252Конкурсная задача ММ252 (3 балла)
Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15; ММ251Конкурсная задача ММ251 (3 балла) Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. ММ250Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. ММ249Конкурсная задача ММ249 (10 баллов) Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk=a иметь ровно 2020 решений? ММ248Конкурсная задача ММ248 (8 баллов) Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ММ247Конкурсная задача ММ247 (7 баллов) Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию fk(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f5(n) и f9(n). ММ246Конкурсная задача ММ246 (7 баллов) Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? ММ245Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. ММ244Конкурсная задача ММ244 (6 баллов)
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку: ММ243Конкурсная задача ММ243 (5 баллов)⊥ В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc Найти угол β. ММ242Конкурсная задача ММ242 (5 баллов)
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%. ММ241Конкурсная задача ММ241 (4 балла) При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? ММ240Конкурсная задача ММ240 (13 баллов) Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? ММ239Конкурсная задача ММ239 (10 баллов)
Существует ли выпуклый многогранник, у которого: Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще. ММ238Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. ММ237Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
Аня: A6 – тождественная перестановка.
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A. ММ236Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. ММ235Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ234Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)
Функция g(n) натурального аргумента n задается так: ММ233
Конкурсная задача ММ233 (6 баллов) Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой ММ232Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ? Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. ММ231Конкурсная задача ММ231 (4 балла) На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный? Терминология ММ228-230Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ. ММ230Конкурсная зхадача ММ230 (15 баллов) Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? ММ229Конкурсная задача ММ229 (7 баллов)
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Примечание: Вася – умный. ММ228Конкурсная задача ММ228 (4 балла) Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? ММ227Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов)
Пусть - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число . ММ226Конкурсная зхадача ММ226 (5 баллов) Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа? ММ225Конкурсная задача ММ225 (6 баллов) Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x2 + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. ММ224Конкурсная задача ММ224 (6 баллов) В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. ММ223Конкурсная задача ММ223 (6 баллов) Рассмотрим две задачки. 1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? 2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5 ММ222Конкурсная задача ММ222 (6 баллов) На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных. Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? ММ221Конкурсная задача ММ221 (4 балла) Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x4 + 2y3 = 37z ? ММ220Конкурсная задача ММ220 (15 баллов) Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. ММ219Конкурсная задача ММ219 (8 баллов) Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? ММ218Конкурсная задача ММ218 (5 баллов) Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. ММ217Конкурсная задача ММ217 (6 баллов) Диагонали AC1 и BD1 шестигранника ABCDA1B1C1D1, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? ММ216Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n. ММ215Конкурсная задача ММ215 (4 балла) На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? ММ214Конкурсная задача ММ214 (4 балла)
1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно? ММ213Конкурсная задача ММ213 (4 балла)
1. Пусть H = {h1, h_2,…, hf} , где f - количество граней, а hi - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ? ММ212Конкурсная задача ММ212 (4 балла) Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. Решение ММ211Конкурсная задача ММ211 (3 балла) Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. ММ210Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)
1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
Примечание. ММ209Конкурсная задача ММ209 (9 баллов) Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы. ММ208Конкурсная задача ММ208 (7 баллов) От двух до пяти. Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,. ММ207Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206
Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d). ММ206Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. ММ205Конкурсная задача ММ205 (7 баллов) Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? ММ204Конкурсная задача ММ204 (5 баллов) Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. ММ203Конкурсная задача ММ203 (5 баллов) Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. ММ202Конкурсная задача ММ202 (5 баллов) При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}? ММ201Конкурсная задача ММ201 (3 балла) Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|