Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Математический марафон


Поздравляю действительных и потенциальных марафонцев с чередой новогодне-рождественских праздников!

С Новым годом стартует и новый XXVIII конкурс в рамках Математического марафона

Обратите внимание на некоторые изменения в правилах.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Послесловие к XXVII конкурсу


Текущие задачи


ММ261

Конкурсная задача ММ271 (3 балла)

Помогите Васе

Решения принимаются до 12.03.2022

Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении n равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+1 равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+2 равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+3 равен 4.
Существуют ли такие числа?

ММ272

Конкурсная задача ММ272 (4 балла)

Задача про задачу

Решения принимаются до 19.03.2022

Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра k может иметь задача «Найти все натуральные n такие, что τ(n)=k и n кратно k»?

ММ273

Конкурсная задача ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

Решения принимаются до 26.03.2022

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника (α≤β≤γ), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

ММ274

Конкурсная задача ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Решения принимаются до 02.04.2022

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов?

ММ275

Конкурсная задача ММ275 (9 баллов)

Точки вокруг треугольника

Решения принимаются до 09.04.2022

Будем говорить, что треугольник относится к классу k, если на плоскости существует ровно k точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать k?

ММ276

Конкурсная задача ММ276 (7 баллов)

Треугольные параболы

Решения принимаются до 16.04.2022

Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?

ММ277

Конкурсная задача ММ277 (7 баллов)

Ну очень искусственная функция

Решения принимаются до 23.04.2022

Для каждого натурального n, большего 2, обозначим:
через g(n) максимум сумм попарных НОД слагаемых при представлении n в виде суммы трех натуральных слагаемых;
через f(n) – g(n)/n;
через F(n) – f(n) + f(n+1) + … + f(n+9).
Чему равно наибольшее значение F(n)?
Может ли F(n) быть меньше 7.1?

ММ278

Конкурсная задача ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Решения принимаются до 07.05.2022

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

ММ279

Конкурсная задача ММ279 (8 баллов)

Новые пятиугольные числа

Решения принимаются до 14.05.2021

Существует ли выпуклый многогранник, все f граней которого являются пятиугольниками, если
а) f=2022;
б) f=2023;
в) f=2024?

Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m.

ММ280

Конкурсная задача ММ280 (13 баллов)

Каждой твари по … тройке

Решения принимаются до 21.05.2022

Какие векторы граней может иметь выпуклый многогранник, если в этих векторах нет чисел, отличных от 3 и 0?


Разбор задач


Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m.


Конкурсная задача ММ270 (16 баллов)

Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.

Решение

Привожу решения призеров конкурса, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука, а также обобщение задачи победителя конкурса Мераба Левиашвили .

Обсуждение

В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не «доказал» неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.

Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.

Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).

Награды

За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 18;
Олег Полубасов - 16;
Анатолий Казмерчук - 16;
Александр Романов - 16;
Константин Шамсутдинов - 10;
Виктор Филимоненков - 10;
Денис Овчинников - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


ММ269

Конкурсная задача ММ269 (11 баллов)

Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника
a) класса 3;
b) класса 4?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.

Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)
Понимая, что ситуация, когда «Вася и Петя оба правы», маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).

Награды

За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 18;
Мераб Левиашвили - 16;
Анатолий Казмерчук - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Василий Дзюбенко - 11;
Александр Романов - 11;
Виктор Филимоненков - 11;
Денис Овчинников - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2022/01/02 18:17 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006