Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Математический марафон


Завершается XXVIII конкурс в рамках Математического марафона

Обратите внимание на некоторые изменения в правилах.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Послесловие к XXVII конкурсу


Текущие задачи


На данный момент таковых нет


Разбор задач


Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m.

ММ280

Конкурсная задача ММ280 (13 баллов)

Каждой твари по … тройке

Какие векторы граней может иметь выпуклый многогранник, если в этих векторах нет чисел, отличных от 3 и 0?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова, Мераба Левиашвили и его же начало обобщения задачи.

Обсуждение

Заключительная задача традиционно планировалась как самая сложная в конкурсе и соответственно оценивалась дорого. Это не стало камнем преткновения для конкурсантов. Большинство из них уверенно справились с задачей. А Мераб Левиашвили не выдержал и прислал таки большое (несколько десятков страниц) обобщение. Не выдержал и ведущий и (вопреки новым правилам) поощрил Мераба дополнительными призовыми баллами. В свое оправдание скажу:
1) в новых правилах оставлена лазейка для такого поощрения;
2) Мераб и без того занял бы чистое первое место. Так что спортивного значения скромные (по сравнению с огромной проделанной работой) дополнительные баллы не имеют.

Отмечу, что в приведенном решении представлена лишь часть обобщения ММ280.
Вторую часть не публикую по следующим причинам:
1. Я пока только в самых общих чертах посмотрел труд Мераба. Откладывать разбор задачи до полного его изучения - значит подвешивать практически завершенный конкурс на неопределенный срок. Это ровно то, от чего я пытался уйти.
2. Надо бы проверить (например, спросить на MathOverFlow) является ли полученные результаты новыми. В случае положительного ответа я бы рекомендовал Мерабу опубликовать их. 3. Возможно, я использую обобщение (не обязательно целиком) в качестве темы исследовательской работы продвинутых старшеклассников. В таком случае наличие легко находимого готового решения - плохое подспорье.

Два слова о решении Константина (подход которого оформлению результатов - полная противоположность подходу Мераба). Но интересно не это, а способ представления выпуклых многогранников. Все остальные участники традиционно используют классический подход - через теорему Штайница. В результате некоторые графы, представляющие требуемые многогранники выглядят ужасно. В отличие от картинок Константина.

Награды

За решение задачи ММ280 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Виктор Филимоненков - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Денис Овчинников - 13;
Владислав Франк - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла


ММ279

Конкурсная задача ММ279 (8 баллов)

Новые пятиугольные числа

Решения принимаются до 14.05.2021

Существует ли выпуклый многогранник, все f граней которого являются пятиугольниками, если
а) f=2022;
б) f=2023;
в) f=2024?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

ММ279 как лакмусовая бумажка выявила некую проблему. То ли Марафон стал слишком длинным, то ли - ведущий слишком старым. А скорее всего, и то, и другое. Около шести лет назад в XXII Марафонском конкурсе предлагалась простенькая задача Решение задачи ММ214. При ее обобщении сразу два конкурсанта (Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов) дали полное описание всех возможных количеств граней выпуклых многогранников, все грани которых пятиугольны. Загадочным образом ведущий ухитрился забыть об этом. Впрочем, не только ведущий. Если бы не бдительность Владимира Дорофеева, ММ279 могла бы сойти за оригинальную задачу.

Мераб Левиашвили (он не участвовал в конкурсе 2016 года) вслед за Олегом Полубасовым и Анатолием Казмерчуком описал все выпуклые многогранники с пятиугольными гранями. Его доказательство несуществования многогранника в 14-ю пятиугольными гранями существенно отличается от приведенных предшественниками. Аналогичный прием Мераб применил к доказательству отсутствия выпуклого семигранника с четырехугольными гранями (отсутствие такого многогранника отмечалось при разборе ММ211).

Награды

За решение задачи ММ279 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Денис Овчинников - 8;
Владислав Франк - 8;
Владимир Дорофеев - 8.

[b]Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла[/b]


ММ278

Конкурсная задача ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Большинство конкурсантов прислали решения значительно проще авторского. Я сразу нашел в додекаэдре треугольное (вторые концы трех ребер, имеющих общую вершину), квадратное (вторые концы ребер, смежных данному ребру) и пятиугольное (вторые концы ребер, исходящих из вершин пятиугольной грани) сечения, а затем потратил некоторые усилия на проверку отсутствия других подходящих сечений, пройдя мимо очевидного факта равноправия всех диагоналей граней додекаэдра.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Константин Шамсутдинов - 6;
Денис Овчинников - 6;
Владислав Франк - 3 (Влад ухитрился потерять пятиугольные сечения додекаэдра).

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла


ММ277

Конкурсная задача ММ277 (7 баллов)

Ну очень искусственная функция

Для каждого натурального n большего 2 обозначим:
через g(n) максимум сумм попарных НОД слагаемых, при представлении n в виде суммы трех натуральных слагаемых;
через f(n) – g(n)/n;
через F(n) – f(n) + f(n+1) + … + f(n+9).
Чему равно наибольшее значение F(n)?
Может ли F(n) быть меньше 7.1?

Решение задачи ММ277


ММ276

Конкурсная задача ММ276 (7 баллов)

Треугольные параболы

Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?

Решение задачи ММ276


ММ275

Конкурсная задача ММ275 (9 баллов)

Точки вокруг треугольника

Будем говорить, что треугольник относится к классу k, если на плоскости существует ровно k точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать k?

Решение задачи ММ275


ММ274

Конкурсная задача ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов.

Решение задачи ММ274


ММ273

Конкурсная задача ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника (?????), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

Решение задачи ММ273


ММ272

Конкурсная задача ММ272 (4 балла)

Задача про задачу

Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра k может иметь задача «Найти все натуральные n такие, что τ(n)=k и n кратно k»?

Решение задачи ММ272


ММ271

Конкурсная задача ММ271 (3 балла)

Помогите Васе

Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении n равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+1 равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+2 равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+3 равен 4.
Существуют ли такие числа?

Решение задачи ММ271


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2022/06/13 17:17 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006