Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Математический марафон


Стартовал XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.


Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Текущие задачи


ММ243

Конкурсная задача ММ243 (5 баллов) Решения принимаются до 20.09.2019

В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc. Найти угол β.


ММ244

Конкурсная задача ММ244 (6 баллов) Решения принимаются до 27.09.2019

Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Васе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились:
А: Я не могу определить, что это за цифры.
Б: И я не могу.
В: И я тоже.
A: Тогда я их знаю!
Б: После этой реплики и я их знаю.
Что это за тройка цифр?
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.


ММ245

Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) Решения принимаются до 04.10.2019

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.


ММ246

Конкурсная задача ММ246 (7 баллов) Решения принимаются до 11.10.2019

Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?


ММ247

Конкурсная задача ММ247 (7 баллов) Решения принимаются до 18.10.2019

Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию fk(n)=(lcm(n,n+1,…,n+k-1))/(lcm(n+1,n+2,…,n+k)).
Найти наименьшие значения f5(n) и f9(n).


ММ248

Конкурсная задача ММ248 (8 баллов) Решения принимаются до 25.10.2019

Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.


ММ249

Конкурсная задача ММ249 (10 баллов) Решения принимаются до 01.11.2019

Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk = a иметь ровно 2020 решений?


ММ250

Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Решения принимаются до 29.11.2019

Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.


Разбор задач


ММ242

Конкурсная задача ММ242 (5 баллов)

На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.
a) При каком наименьшем m такое возможно?
b) При каком наименьшем n такое возможно?
c) При каком наименьшем m+n такое возможно?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.

Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина «округление». Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет…

Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:
29 - 3 раза;
31 - 2 раза;
67 - 1 раз;
73 - 1 раз;
201 - 2 раза;
10000 - 2 рвза.

Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием.

Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.

Награды

За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Владимир Дорофеев - 6;
Александр Домашенко - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Владислав Франк - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Антон Никонов - 5;
Анна Букина - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


ММ241

Конкурсная задача ММ241 (4 балла)

При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?

Решение

Привожу решения Александра Домашенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.

Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. Участники разделись на 3 категории:
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n.

Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но… В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.

Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).

Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.

Награды

За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 6;
Константин Шамсутдинов - 5;
Анатолий Казмерчук - 4;
Мераб Левиашвили - 4;
Виктор Филимоненков - 4;
Владислав Франк - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Антон Никонов - 4;
Владимир Дорофеев - 4;
Анна Букина - 2.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


ММ240

Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов)

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.
Я пытался понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости, что в разбиении будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли. Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, они помогут решить и задачу-предшественник.

В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:
Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:
Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;
в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых, исключая 15.
Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова, в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится, что такое возможно).

За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-)

Награды

За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Константин Шамсутдинов - 16;
Анатолий Казмерчук - 15;
Виктор Филимоненков - 13;
Владимир Чубанов - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


ММ239

Конкурсная задача ММ239 (10 баллов)

Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней - семиугольники;
b) более половины граней - семиугольники;
с) не менее половины граней - восьмиугольники;
d) более половины граней - восьмиугольники;
e) не менее половины граней - девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Ровно в половине всех присланных (и всех приведенных) решений авторы обошлись без картининок. Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?).
Первый рисунок иллюстрирует ответы сразу к трем пунктам задачи: a), b), c). Отрезав от додекаэдра красные вершины, получим многогранник в котором более (а значит, и не менее) половины граней являются семиугольниками. Если же наоборот, оставить красные вершины, а остальные отрезать, получим многогранник, в котором ровно половина граней - восьмиугольники.

[url=https://radikal.ru][img]https://c.radikal.ru/c29/1811/ee/fe9c0eb0fc7c.png[/img][/url]

На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором граней (28,0,0,4,0,36), обосновывающий положительный ответ к пункту d).

[url=https://radikal.ru][img]https://b.radikal.ru/b16/1811/db/cc6dba0522fa.jpg[/img][/url]
ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса, посвященного данной тематике. Участники, пропустившие тот конкурс, вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно, можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей :-)). С удовольствием констатирую, что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно, они решений не прислали).
Изучение вопроса о верхней грани отношения количества k-угольных граней к общему числу граней (6\le k\le 12) поощрялось дополнительными баллами. В случае vpb, это поощрение скомпенсировалось сбавкой за штейнеровское отношение к читателю :-). (Каюсь, сам я работ Якоба Штейнера в первоисточнике не читал, но, говорят, он свои сугубо геометрические выкладки вообще не снабжал чертежами.) Остальные изъятия сделаны либо за отсутствие примеров на некоторые пункты, либо за присутствие примеров с невозможными многогранниками (с нецелым количеством ребер :-)) Волшебное превращение восьмиугольных граней в семиугольные (при склейке по общей треугольной грани) я оценивать не стал :-)

Награды

За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 12;
Владимир Чубанов - 11;
vpb - 10;
Константин Шамсутдинов - 10;
Виктор Филимоненков - 9;
Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2019/09/14 10:33 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006