Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Математический марафон


Близится у завершению 23-й конкурс в рамках Математического марафона

Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим арифметике и комбинаторной геометрии. Третью можно условно озаглавить «Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ». Окажется ли этот сон кошмарным, скоро узнаем.

Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).

Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.

Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.


Ведущий Марафона — Vladimir letsko


Текущие задачи

Терминология ММ228-230

Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.

Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.
Внешним циклом конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2).
Выпуклыми вершинами внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.
Обратными вершинами назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.
Элементарными отрезками назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.
Элементарными многоугольниками назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.
Впадиной назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.
Вектором граней конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].


ММ230

Конкурсная задача ММ230 (15 баллов) Решения принимаются до 01.12.2017

Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?


Разбор задач


ММ229

Конкурсная задача ММ229 (7 баллов)

Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.
Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3).
После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:
1) количество прямых;
2) количество элементарных многоугольников:
3) количество выпуклых вершин;
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;
7) количество обратных вершин;
8) количество впадин;
9) количество сторон внешнего контура?

Примечание: Вася – умный.

Решение

Привожу все поступившие решения: Ариадны, Анатолия Казмерчука, Виктора Филимоненкова и Олега Полубасова.

Обсуждение

На перегоне ММ228-ММ229 никто из марафонцев с дистанции никто не сошел. Но, к сожалению, никто и не вернулся (примкнул).

Я не слишком высоко оценил титаническую работу Анатолия Казмерчука по подсчету количества конфигураций, приводящих к данному внешнему циклу, поскольку результат получился слишком уж частный. Гораздо интереснее, на мой взгляд, получить какие-то общие закономерности.
Или хотя бы полное описание всех конфигураций (с позиций рассматриваемых конфигураций) для малого количества прямых.
До 4-х прямых включительно все однозначно.
При 5-и прямых все характеристики дружно перестают быть константами, но возможные значения легко перебираются.
Например, возможные векторы граней - [5,0,1], [4,1,1], [3,2,1], [3,3,0].
Разнообразие внешних циклов несколько больше:
(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1);
(3,2,1,2,3,1,2,2,2,1);
(4,1,2,2,2,1,2,2,2,1);
(3,1,2,2,2,1,2,2,2,1);
(3,1,3,1,3,1,2,2,2,1);
(3,2,1,3,2,1,2,2,2,1).
В частности, для пяти прямых внешний цикл однозначно определяет вектор граней, что, как мы знаем, неверно в общем случае. Начиная с 6-и прямых, разнообразие характеристик и их сочетаний уже настолько велико, что ручной перебор проблематичен.
Ну а в общем случае…
В общем случае удается получить лишь некоторые оценки. Такие как наличие n-2 треугольников и достижимость (n-2)(n-3)/2 четырехугольников для конфигураций из $n$ прямых.

Награды

За решение задачи ММ229 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Анатолий Казмерчук - 9; Олег Полубасов - 8; Виктор Филимоненков - 7; Валентина Колыбасова - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


ММ228

Конкурсная задача ММ228 (4 балла)

Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?

Решение задачи ММ228


ММ227

Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов)

Пусть n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s} - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число p_1+p_2+...p_s.
Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.

Решение задачи ММ227


ММ226

Конкурсная зхадача ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?

Решение задачи ММ226


ММ225

Конкурсная задача ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x2 + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня.

Решение задачи ММ225


ММ224

Конкурсная задача ММ224 (6 баллов)

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.

Решение задачи ММ224


ММ223

Конкурсная задача ММ223 (6 баллов)

Рассмотрим две задачки.

1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?

Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5

Решение задачи ММ223


ММ222

Конкурсная задача ММ222 (6 баллов)

На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных. Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1?

Решение задачи ММ222


ММ221

Конкурсная задача ММ221 (4 балла)

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x4 + 2y3 = 37z ?

Решение задачи ММ221


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2017/11/12 14:38 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006