Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Математический марафон


Завершается XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.


Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Текущие задачи


ММ250

Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Решения принимаются до 29.11.2019

Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.


Разбор задач


ММ249

Конкурсная задача ММ249 (10 баллов)

Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk=a иметь ровно 2020 решений?

Решение

Привожу решения Мераба Левиашвили, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали.

Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут. Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.

Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.

Награды

За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Константин Шамсутдинов - 12;
Анатолий Казмерчук - 12;
Виктор Филимоненков - 10;
vpb - 10;
Владислав Франк - 9.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов


ММ248

Конкурсная задача ММ248 (8 баллов)

Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова. (Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.)

Обсуждение

ММ248 далась не всем конкурсантам. Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,…} ровно один элемент - двойка! Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).

К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число. (Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)

Награды

За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Владислав Франк - 9; vpb - 9; Анатолий Казмерчук - 8; Константин Шамсутдинов - 8; Виктор Филимоненков - 8; Мераб Левиашвили - 8; Александр Домашенко - 3; Владимир Дорофеев - 1; Анна Букина - 1.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов


ММ247

Конкурсная задача ММ247 (7 баллов)

Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию fk(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f5(n) и f9(n).

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Анны Букиной.

Обсуждение

ММ247 - обещанное продолжение ММ238. Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) Поощрения сделаны за некоторые обобщения.
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. Ограничились :-(
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):
Сколько целых значений принимает fk(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f5(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(fk(n))) целых значениях fk(n) не подтвердилась)
Ясно, что каждое свое значение fk(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?

Награды

За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Владислав Франк - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Владимир Дорофеев - 8;
Анна Букина - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Валентин Пивоваров - 6;
Александр Домашенко - 6;
waxter - 6;
Виктор Филимоненков - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла


ММ246

Конкурсная задача ММ246 (7 баллов)

Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова, Виктора Филимоненкова и авторское.

Обсуждение

ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется. Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).

Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.

Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника. К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-)

Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.

К вопросу о красоте.
ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.
Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.
Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. А для разносторонних, попавших в ответ это не так. Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.
Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.

Награды

За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 7;
Анатолий Казмерчук - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Валентина Колыбасова - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Владислав Франк - 5;
Анна Букина - 5;
Владимир Дорофеев - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


ММ245

Конкурсная задача ММ245 (5 баллов)

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и Виктора Филимоненкова (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое).

Обсуждение

ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности. Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто «найти отношение площадей», а не «найти отношение площади первого к площади второго».

Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.

Награды

За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 6;
Анатолий Казмерчук - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Анна Букина - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4;
Валентин Пивоваров - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


ММ244

Конкурсная задача ММ244 (6 баллов)

Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились:
А: Я не могу определить, что это за цифры.
Б: И я не могу.
В: И я тоже.
A: Тогда я их знаю!
Б: После этой реплики и я их знаю.
Что это за тройка цифр?
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения. Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:
найти ошибку в длинном правдоподобном решении;
разобраться в программе, написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;
как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;
наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения.

Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях.

Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления… и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).

Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я).

На FB можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье).

Награды

За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7;
Константин Шамсутдинов - 6;
Мераб Левиашвили - 6;
Владислав Франк - 6;
Виктор Филимоненков - 5;
Анна Букина - 4;
Валентин Пивоваров - 4;
Валентина Колыбасова - 3;
Антон Никонов - 3;
Александр Домашенко - 3;
Лев Песин - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


ММ243

Конкурсная задача ММ243 (5 баллов)⊥

В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc Найти угол β.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой и Анны Букиной (только они не поленились сделать чертежи).

Еще одно решение (Виктора Филимоненкова) - пример одного из наиболее кратких решений

Обсуждение

Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. Зато присланные решения довольно разннобразны.
Тем самым, они оправдали ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи. Соответственно, и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона.

Награды

За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Александр Домашенко - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Владислав Франк - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Анна Букина - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Антон Никонов - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


ММ242

Конкурсная задача ММ242 (5 баллов)

На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.
a) При каком наименьшем m такое возможно?
b) При каком наименьшем n такое возможно?
c) При каком наименьшем m+n такое возможно?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.

Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина «округление». Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет…

Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:
29 - 3 раза;
31 - 2 раза;
67 - 1 раз;
73 - 1 раз;
201 - 2 раза;
10000 - 2 рвза.

Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием.

Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.

Награды

За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Владимир Дорофеев - 6;
Александр Домашенко - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Владислав Франк - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Антон Никонов - 5;
Анна Букина - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


ММ241

Конкурсная задача ММ241 (4 балла)

При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?

Решение

Привожу решения Александра Домашенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.

Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. Участники разделись на 3 категории:
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n.

Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но… В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.

Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).

Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.

Награды

За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 6;
Константин Шамсутдинов - 5;
Анатолий Казмерчук - 4;
Мераб Левиашвили - 4;
Виктор Филимоненков - 4;
Владислав Франк - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Антон Никонов - 4;
Владимир Дорофеев - 4;
Анна Букина - 2.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2019/11/02 12:22 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006