• Правила марафона
• Рейтинг участников
• Архив Марафона

Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона

Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Послесловие к XXVII конкурсу

На данный момент отсутствуют.

Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f₃, f₄, …, f_s], где f_i – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f_i) = m.

Конкурсная задача ММ270 (16 баллов)

Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.

Решение

Привожу решения призеров конкурса, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука, а также обобщение задачи победителя конкурса Мераба Левиашвили .

Обсуждение

В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не «доказал» неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.

Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.

Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).

Награды

За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 18;
Олег Полубасов - 16;
Анатолий Казмерчук - 16;
Александр Романов - 16;
Константин Шамсутдинов - 10;
Виктор Филимоненков - 10;
Денис Овчинников - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

Конкурсная задача ММ269 (11 баллов)

Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника
a) класса 3;
b) класса 4?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.

Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы
Понимая, что ситуация, когда «Вася и Петя оба правы», маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).

Награды

За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 18;
Мераб Левиашвили - 16;
Анатолий Казмерчук - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Василий Дзюбенко - 11;
Александр Романов - 11;
Виктор Филимоненков - 11;
Денис Овчинников - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла

Конкурсная задача ММ268 (9 баллов)

Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?

Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.

Решение задачи ММ268

Конкурсная задача ММ267 (7 баллов)

Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?

Решение задачи ММ267

Конкурсная задача ММ266 (7 баллов)

Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:
1) τ(n³ )=τ(n)², где n – произведение всех выписанных чисел;
2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.

Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.

Решение задачи ММ266

Конкурсная задача ММ265 (5 баллов)

Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.

Решение задачи ММ265

Конкурсная задача ММ264 (4 балла)

Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.

(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)

Решение задачи ММ264

Конкурсная задача ММ263 (4 балла)

Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?

([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)

Решение задачи ММ263

Конкурсная задача ММ262 (3 балла)

Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.

Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ

Решение задачи ММ262

Конкурсная задача ММ261 (4 балла)

Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.

Решение задачи ММ261