Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2021/05/16 08:26]
letsko [ММ263]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Предлагаю вашему вниманию **задачи очередного XXVII марафонского конкурса!**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
@@ Строка 23: / Строка 23: @@
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
 ====== Текущие задачи ======
 ----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
+====== Разбор задач ======
+----
 =====
 Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
+----
-===== ММ270 =====
- **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Решения принимаются до __22.05.2021__
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
 Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-----
+**Решение**
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
+**Обсуждение**
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
+**Награды**
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-====== Разбор задач ======
 ----
 ===== ММ269 =====
@@ Строка 86: / Строка 114: @@
 ===== ММ268 =====
- **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
 Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
@@ Строка 92: / Строка 121: @@
 Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-**Решение**
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм268.docx|Виктора Филимоненкова}} (для поклонников сестры таланта), {{:marathon:kazmerchuk_mm_268.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм268-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.
-**Обсуждение**
-К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса.
-Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой).
-Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.
-Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.\\
-Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-)
-**Награды**
-За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Мераб Левиашвили - 12;\\
-Анатолий Казмерчук - 11;\\
-Владислав Франк - 10;\\
-Василий Дзюбенко - 9;\\
-Денис Овчинников - 9;\\
-Александр Романов - 9;\\
-Константин Шамсутдинов - 9;\\
-Виктор Филимоненков - 9;\\
-Олег Полубасов - 9;\\
-Владимир Дорофеев - 9;\\
-Михаил Ватник - 9.
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла**
 ----
@@ Строка 133: / Строка 133: @@
 Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-**Решение**
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-Привожу решения {{:marathon:мм267_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}} (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), {{:marathon:kazmerchuk_mm_267_1_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm267_romanov.pdf|Александра Романова}}.
-**Обсуждение**
-В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?!\\
-Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются **реже**, чем представления второго. Ведь именно "реже" (а отнюдь не "не чаще") является обратным бинарным отношением к отношению "чаще". Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.\\
-Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.\\
-В результате ведущему вновь пришлось прибегать к "соломонову решению". Точнее, к решению мудреца из анекдота, который заверил каждого из спорщиков, что он прав. Правы и те, кто считает, что Петя прав, и те, что полагает, что он не прав, и те, кто рассмотрел оба подхода, и те (нашлись и такие дипломаты), кто не упомянул вопрос о Петиной правоте в своем решении. Главное, чтобы в решении было показано, что представлений каждого вида поровну.
-В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы.
-Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил.
-**Награды**
-За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Мераб Левиашвили - 9;\\
-Василий Дзюбенко - 7;\\
-Денис Овчинников - 7;\\
-Владислав Франк - 7;\\
-Александр Романов - 7;\\
-Константин Шамсутдинов - 7;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Олег Полубасов - 7;\\
-Владимир Дорофеев - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 ----
 ===== ММ266 =====
- **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
 Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
@@ Строка 175: / Строка 148: @@
 Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Решение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Привожу решения {{:marathon:mm266.pdf|Василия Дзюбенко}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_266.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм266-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.
-**Обсуждение**
-Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз.
-Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского ("А какие же они по-вашему?!") сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.\\
-Но победа ведущего оказалась пирровой, поскольку, на самом деле, решений оказалось два (я потерял решение с одним составным числом).
-Очередной (и не последний) раз размышляя, как разруливать возникшую ситуацию я пришел к такому "соломонову" решению: нашедшим одно решение ставить за задачу полный балл (ведь они решили задачу не хуже ведущего, да и итог обсуждения с Олегом как-бы подсказывал, что второго решения искать не надо), а нашедших оба решения поощрять дополнительным баллом (как обычно дополнительные баллы раздаются более скупо, чем основные).
-Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях.\\
-Мераб Левиашвили, оставив незыблемым условие τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup> (а значит, и попарную взаимную простоту дней рождения), занялся рассмотрением задачи в других календарях.\\
-Анатолий Казмерчук, наоборот, сосредоточил свое внимание на на уравнении τ(n<sup>a</sup> )=τ(n)<sup>b</sup> \\
-Рассуждения Анатолия представляются мне более интересными (менее искусственными). Впрочем, возможно, это лишь моя субъективная "кочка зрения".
-**Награды**
-За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Анатолий Казмерчук - 10;\\
-Мераб Левиашвили - 9;\\
-Василий Дзюбенко - 8;\\
-Денис Овчинников - 8;\\
-Владислав Франк - 8;\\
-Александр Романов - 8;\\
-Константин Шамсутдинов - 8;\\
-Виктор Филимоненков - 8;\\
-Олег Полубасов - 7;\\
-Владимир Дорофеев - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3  балла**
 ----
 ===== ММ265 =====
- **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
 Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-**Решение**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Привожу решения {{:marathon:mm265_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_265_1_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm265_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}}.
-Решение Мераба Левиашвили доступно на https://dxdy.ru/post1513965.html#p1513965
-**Обсуждение**
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. И в целом понравилась им (больше чем ведущему).
-Многие участники не ограничились решением базовой задачи, но и обобщили результаты.{{:marathon:mm265_polubasoff.pdf|}}
-Так, Васлий Дзюбенко и Анатолий Казмерчук рассмотрели минимальные количества "бесподобных" прямоугольных треугольников, на которые могут быть разрезаны треугольники произвольного вида. Оказалось, что наряду с правильными этот минимум равен 4 для тупоугольных равнобедренных треугольников (тот же результат без обоснования указал Владимир Дорофеев).
-Обобщения от Олега Полубасова и Мераба Левиашвили были с связаны с разрезанием правильных многоугольников с бОльшим числом сторон.
-И поставили перед ведущим целый ряд проблем по оцениванию их достижений. Так, Мераб не нашел разрезания квадрата на 5 треугольников, но при этом смог достичь результата 2n-3 чля четных n>6 (у Олега 2n-2). C другой стороны, Олег и не утверждал, что его результаты окончательны, А Мераб назвал результат 6 для квадрата "абсолютным минимумом". После некоторых размышлений я поощрил Олега и Мераба равным количеством баллов.
-Возвращаясь к базовой задаче отмечу симпатичное разрезание правильного треугольника, в котором все углы всех треугольников образуют арифметическую прогрессию с шагом 10^o. Большинство конкурсантов привели в качестве примера именно его.
-**Награды**
-За решение задачи ММ265 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Мераб Левиашвили - 8;\\
-Олег Полубасов - 8;\\
-Анатолий Казмерчук - 7;\\
-Василий Дзюбенко - 6;\\
-Денис Овчинников - 5;\\
-Владислав Франк - 5;\\
-Александр Романов - 5;\\
-Константин Шамсутдинов - 5;\\
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Владимир Дорофеев - 5.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6  балла**
 ----
 ===== ММ264 =====
- **Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
 Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
@@ Строка 253: / Строка 171: @@
 (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-**Решение**
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Привожу решения {{:marathon:mm264_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:мм264-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.
-**Обсуждение**
-Рекордно низкая эстетическая оценка ММ264 могла бы быть значительно выше. Самые низкие оценки сопровождались приписками, что они могут быть существенно повышены, если будет предъявлен способ конструирования аддитивных пар, не основанный на переборе. Впрочем, сами строгие оценщики не верили в существование такого решения.\\
-Не верил в решение, не основанное на переборе, и ведущий. Но надеялся, что конкурсанты предложат хотя и переборный, но высоко эффективный способ конструирования примитивных (не получаемых из других домножением на одно число) аддитивных пар. Примерно такой, какой был предложен для http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:problem_163. (Обладатели моей книжки про Марафон могут найти в ней обобщение способа, изложенного в ММ163.)\\
-Отчасти эти надежды оправдались. Мераб Левиашвили предложил способ поиска аддитивных пар, в которых числа a, b и a+b имеют фиксированное каноническое разложение. После того как были назначены конкретные значения двум из шести простым числам, фигурирующим в решении, остальные были найдены конечным и совсем коротким ручным перебором.\\
-Такой подход был бы хорош, если бы не одно "но". Я не уверен, что другие назначения, отличные от c=2? e=3, приведут к нахождению еще хотя бы одной аддитивной пары. Так что, успех на пути, выбранном Мерабом, выглядит, скорее случайным, чем закономерным. (Еще одна претензия к решению Мераба связана с загадочной формулой в третьей строке второй страницы его решения.)
-Не исключено, что можно получать аддитивные пары (а точнее тройки), стартуя с других канонических разложений a, b и a+b. Однако, среди примитивных наборов найденных Олегом Полубасовым (а он нашел больше всего таких наборов), вид канонического разложения всех трех чисел (a, b и a+b) не повторяется ни разу. Так что, способ конструирования серий примитивных наборов пока не вырисовывается.
-**Награды**
-За решение задачи ММ264 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Мераб Левиашвили - 5;\\
-Олег Полубасов - 5;\\
-Анатолий Казмерчук - 4;\\
-Денис Овчинников - 4;\\
-Василий Дзюбенко - 4;\\
-Владислав Франк - 4;\\
-Александр Романов - 4;\\
-Константин Шамсутдинов - 3;\\
-Виктор Филимоненков - 2;\\
-Владимир Дорофеев - 2.
-**Эстетическая оценка задачи - 3.1  балла**
 ----