 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:about [2021/05/16 08:32] letsko [ММ267] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
||
|---|---|---|---|
| Строка 8: | Строка 8: | ||
| ---- | ---- | ||
| + | **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** | ||
| - | Предлагаю вашему вниманию **задачи очередного XXVII марафонского конкурса!** | + | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| - | Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время. | ||
| Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | ||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
| Ведущий Марафона | Ведущий Марафона | ||
| --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | ||
| + | |||
| + | [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | |||
| ====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== | ||
| ---- | ---- | ||
| + | **На данный момент отсутствуют.** | ||
| ---- | ---- | ||
| + | |||
| + | ====== Разбор задач ====== | ||
| + | ---- | ||
| ===== | ===== | ||
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. | Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. | ||
| + | ---- | ||
| - | ===== ММ270 ===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) | ||
| - | Решения принимаются до __22.05.2021__ | + | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. | ||
| - | ---- | + | **Решение** |
| + | |||
| + | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . | ||
| + | |||
| + | **Обсуждение** | ||
| + | |||
| + | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. | ||
| + | |||
| + | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. | ||
| + | |||
| + | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). | ||
| + | |||
| + | |||
| + | **Награды** | ||
| + | |||
| + | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | ||
| + | Мераб Левиашвили - 18;\\ | ||
| + | Олег Полубасов - 16;\\ | ||
| + | Анатолий Казмерчук - 16;\\ | ||
| + | Александр Романов - 16;\\ | ||
| + | Константин Шамсутдинов - 10;\\ | ||
| + | Виктор Филимоненков - 10;\\ | ||
| + | Денис Овчинников - 8.\\ | ||
| + | |||
| + | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла | ||
| - | ====== Разбор задач ====== | ||
| ---- | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| ===== ММ269 ===== | ===== ММ269 ===== | ||
| Строка 86: | Строка 114: | ||
| ===== ММ268 ===== | ===== ММ268 ===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) | + | |
| + | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) | ||
| Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? | ||
| Строка 92: | Строка 121: | ||
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. | ||
| - | **Решение** | + | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| - | + | ||
| - | Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм268.docx|Виктора Филимоненкова}} (для поклонников сестры таланта), {{:marathon:kazmerchuk_mm_268.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм268-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}. | + | |
| - | + | ||
| - | **Обсуждение** | + | |
| - | + | ||
| - | К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса. | + | |
| - | + | ||
| - | Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой). | + | |
| - | + | ||
| - | Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа. | + | |
| - | + | ||
| - | Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.\\ | + | |
| - | Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-) | + | |
| - | + | ||
| - | **Награды** | + | |
| - | + | ||
| - | За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | + | |
| - | Мераб Левиашвили - 12;\\ | + | |
| - | Анатолий Казмерчук - 11;\\ | + | |
| - | Владислав Франк - 10;\\ | + | |
| - | Василий Дзюбенко - 9;\\ | + | |
| - | Денис Овчинников - 9;\\ | + | |
| - | Александр Романов - 9;\\ | + | |
| - | Константин Шамсутдинов - 9;\\ | + | |
| - | Виктор Филимоненков - 9;\\ | + | |
| - | Олег Полубасов - 9;\\ | + | |
| - | Владимир Дорофеев - 9;\\ | + | |
| - | Михаил Ватник - 9. | + | |
| - | **Эстетическая оценка задачи - 4 балла** | ||
| ---- | ---- | ||