Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2021/06/17 17:02]
letsko [Текущие задачи]
+++ marathon:about [2024/12/26 12:08] (текущий)
letsko [Математический марафон]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
-**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
+**Завершен XXVIII конкурс в рамках Математического марафона**
-**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Виктору Филимоненкову и Константину Шамсутдинову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию!**
+**В настоящий момент Марафон поставлен на паузу.** Но когда и если Марафон продолжится...\\
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
@@ Строка 36: / Строка 37: @@
 ====== Разбор задач ======
+----
+См. архив
 ----
 =====
-Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-----
-**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-**Решение**
-Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Обсуждение**
-В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-**Награды**
-За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Мераб Левиашвили - 18;\\
-Олег Полубасов - 16;\\
-Анатолий Казмерчук - 16;\\
-Александр Романов - 16;\\
-Константин Шамсутдинов - 10;\\
-Виктор Филимоненков - 10;\\
-Денис Овчинников - 8.\\
-Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-----
-===== ММ269 =====
- **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-a) класса 3;\\
-b) класса 4?
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-**Обсуждение**
-Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-**Награды**
-За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Олег Полубасов - 18;\\
-Мераб Левиашвили - 16;\\
-Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Константин Шамсутдинов - 13;\\
-Василий Дзюбенко - 11;\\
-Александр Романов - 11;\\
-Виктор Филимоненков - 11;\\
-Денис Овчинников - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-----
-===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-----
-===== ММ267 =====
-**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-----
-===== ММ266 =====
-**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
-) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
-) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
-Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-----
-===== ММ265 =====
-**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-----
-===== ММ264 =====
-**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-----
-===== ММ263 =====
- **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-----
-===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
-Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-----
-===== ММ261 =====
-**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-----
 ~~NOTOC~~