Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:archive [2024/12/25 06:23]
letsko [ММ280]
+++ marathon:archive [2024/12/26 11:53] (текущий)
letsko
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
-**Конкурсная задача ММ280** (16 баллов)
+**Конкурсная задача ММ280** (13 баллов)
 **Каждой твари по … тройке**
@@ Строка 23: / Строка 23: @@
 ----
+===== ММ279 =====
+**Конкурсная задача ММ279** (8 баллов)
+**Новые пятиугольные числа**
+Существует ли выпуклый многогранник, все f граней которого являются пятиугольниками, если\\
+а) f=2022;\\
+б) f=2023;\\
+в) f=2024?
+[[problem 279|Решение задачи ММ279]]
+----
+===== ММ278 =====
+**Конкурсная задача ММ278** (6 баллов)
+** Правильные в правильных**
+Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?
+[[problem 278|Решение задачи ММ278]]
+----
+===== ММ277 =====
+**Конкурсная задача ММ277** (7 баллов)
+**Ну очень искусственная функция**
+Для каждого натурального n большего 2 обозначим:\\
+через g(n) максимум сумм попарных НОД слагаемых, при представлении n в виде суммы трех натуральных слагаемых;\\
+через f(n)  –  g(n)/n;\\
+через F(n)  –  f(n) + f(n+1) + … + f(n+9).\\
+Чему равно наибольшее значение F(n)?\\
+Может ли F(n) быть меньше 7.1?
+[[mathproblem 277|Решение задачи ММ277]]
+----
+===== ММ276 =====
+**Конкурсная задача ММ276** (7 баллов)
+**Треугольные параболы**
+Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?
+[[problem 276|Решение задачи ММ276]]
+----
+===== ММ275 =====
+**Конкурсная задача ММ275** (9 баллов)
+**Точки вокруг треугольника**
+Будем говорить, что треугольник относится к классу k, если на плоскости существует ровно k точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать k?
+[[problem 275|Решение задачи ММ275]]
+----
+===== ММ274 =====
+**Конкурсная задача ММ274** (6 баллов)
+** Эти поля слишком малы…**
+Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов.
+[[problem 274|Решение задачи ММ274]]
+----
+===== ММ273 =====
+**Конкурсная задача ММ273** (7 баллов)
+**Центр на стороне**
+В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника (α≤β≤γ), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?
+[[problem 273|Решение задачи ММ273]]
+----
+===== ММ272 =====
+**Конкурсная задача ММ272** (4 балла)
+**Задача про задачу**
+Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра k может иметь задача «Найти все натуральные n такие, что τ(n)=k и n кратно k»?
+[[problem 272|Решение задачи ММ272]]
+----
+===== ММ271 =====
+**Конкурсная задача ММ271** (3 балла)
+**Помогите Васе**
+Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:\\
+) наивысший показатель степени в каноническом разложении n равен 1;\\
+) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+1 равен 2;\\
+) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+2 равен 3;\\
+) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+3 равен 4.\\
+Существуют ли такие числа?
+[[problem 271|Решение задачи ММ271]]
+----
+----
 Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.