 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:problem_2 [2015/10/03 13:06] letsko создано |
marathon:problem_2 [2019/06/18 07:04] (текущий) letsko |
||
|---|---|---|---|
| Строка 46: | Строка 46: | ||
| Таким образом, P < S < 2P, откуда 1/2 < P/S < 1. В выпуклом пятиугольнике, у которого четыре вершины очень близки друг к другу, а пятая расположена очень далеко от остальных, отношение P/S становится сколь угодно близким к 1. Если же две близких между собой вершины удалаются от остальных трех также близких между собой, то P/S стремится к 1/2. Таким образом, весь диапазон (1/2; 1) достижим. | Таким образом, P < S < 2P, откуда 1/2 < P/S < 1. В выпуклом пятиугольнике, у которого четыре вершины очень близки друг к другу, а пятая расположена очень далеко от остальных, отношение P/S становится сколь угодно близким к 1. Если же две близких между собой вершины удалаются от остальных трех также близких между собой, то P/S стремится к 1/2. Таким образом, весь диапазон (1/2; 1) достижим. | ||
| - | Случай произвольного выпуклого n-угольника рассмотрим несколько менее строго. | + | Случай произвольного выпуклого n-угольника рассмотрим несколько менее строго (более аккуратные выкладки в Приложении). |
| Заметим, что росту отношения P/S способствует ситуация, когда одна вершина удаляется от остальных близких между собой вершин. Чтобы найти предел, к которому асимптотически приближается отношение P/S, когда одна из вершин удаляется в бесконечность, будем считать две стороны и n-3 диагонали, исходящие из отодвигаемой вершины, примерно равными между собой и пренебрежем остальными сторонами и диагоналями. Таким образом, (недостижимая) верхняя грань значения P/S равна 2/(n-3). | Заметим, что росту отношения P/S способствует ситуация, когда одна вершина удаляется от остальных близких между собой вершин. Чтобы найти предел, к которому асимптотически приближается отношение P/S, когда одна из вершин удаляется в бесконечность, будем считать две стороны и n-3 диагонали, исходящие из отодвигаемой вершины, примерно равными между собой и пренебрежем остальными сторонами и диагоналями. Таким образом, (недостижимая) верхняя грань значения P/S равна 2/(n-3). | ||
| Строка 56: | Строка 56: | ||
| Поэтому при n=2k нижняя грань отношения P/S - | Поэтому при n=2k нижняя грань отношения P/S - | ||
| - | 2/(k2 - 2) = 8/(n2 - 8). | + | 2/(k<sup>2</sup> - 2) = 8/(n<sup>2</sup> - 8). |
| Если n=2k+1, то группы содержат разное (2k и 2k+1) количество вершин. Число диагоналей, соединяющих вершины из разных групп - 2(k-1) + k(k-1). В этом случае нижняя грань отношения P/S - | Если n=2k+1, то группы содержат разное (2k и 2k+1) количество вершин. Число диагоналей, соединяющих вершины из разных групп - 2(k-1) + k(k-1). В этом случае нижняя грань отношения P/S - | ||
| - | 2/(k2 + k - 2) = 8/(4k2 + 4k + 1 - 9) = 8/(n2 - 9). | + | 2/(k<sup>2</sup> + k - 2) = 8/(4k<sup>2</sup> + 4k + 1 - 9) = 8/(n<sup>2</sup> - 9). |
| Окончательно получаем: диапазон изменения P/S - | Окончательно получаем: диапазон изменения P/S - | ||
| - | (8/(n2 - t; 2/(n-3)), где t=8 при четных и t=9 при нечетных n. | + | (8/(<sup>2</sup> - t; 2/(n-3)), где t=8 при четных и t=9 при нечетных n. |
| Заметим, просчитанные ранее частные случаи n=4 и n=5 согласуются с общей формулой. | Заметим, просчитанные ранее частные случаи n=4 и n=5 согласуются с общей формулой. | ||
| Строка 70: | Строка 70: | ||
| Призовых баллов за это решение (в котором, в частности, утверждается, что у подобных многоугольников разное (!) отношение P/S) не присуждено. | Призовых баллов за это решение (в котором, в частности, утверждается, что у подобных многоугольников разное (!) отношение P/S) не присуждено. | ||
| + | ---- | ||
| + | [[mm_2_appendix|Приложение]] | ||
| + | |||
| + | ---- | ||