Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:problem_38 [2015/10/14 13:12]
letsko создано
+++ marathon:problem_38 [2015/10/14 13:17] (текущий)
letsko
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 **Решение**
-Обозначим <m>F0(n)</m> количество таких последовательностей, оканчивающихся на 0, <m>F1(n)</m> - оканчивающихся на 1, <m>F2(n)</m> - оканчивающихся на 2.\\
+Обозначим <m>F_0(n)</m> количество таких последовательностей, оканчивающихся на 0, <m>F_1(n)</m> - оканчивающихся на 1, <m>F_2(n)</m> - оканчивающихся на 2.\\
-Тогда <m>f(n)=F0(n)+F1(n)+F2(n)</m>.\\
+Тогда <m>f(n)=F_0(n)+F_1(n)+F_2(n)</m>.\\
 Так как к любой последовательности можно приписать 0, не нарушив условий задачи, то
-<m>F0(n+1)= f(n) = F0(n) + F1(n) + F2(n)</m>.
+<m>F_0(n+1)= f(n) = F_0(n) + F_1(n) + F_2(n)</m>.
-Так как 1 можно приписать только к последовательности, оканчивающейся на 0 или 2, то <m>F1(n+1) = F0(n) + F2(n)</m>.\\
+Так как 1 можно приписать только к последовательности, оканчивающейся на 0 или 2, то <m>F_1(n+1) = F_0(n) + F_2(n)</m>.\\
-Аналогично <m>F2(n+1) = F0(n) + F1(n)</m>.
+Аналогично <m>F_2(n+1) = F_0(n) + F_1(n)</m>.
 Складывая, получаем:\\
-<m>f(n+1) = F0(n+1) + F1(n+1) + F2(n+1) = 3*F0(n) + 2*F1(n) + 2*F2(n) = 2f(n) + f(n-1)</m>.
+<m>f(n+1) = F_0(n+1) + F_1(n+1) + F_2(n+1) = 3*F_0(n) + 2*F_1(n) + 2*F_2(n) = 2f(n) + f(n-1)</m>.
 Очевидно, что f(1) = 3 и f(2) = 7.\\
@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 Учитывая начальные условия, находим:\\
-<m>C_1 = {1 + sqrt{2}}/2, C_2 = {1 - sqrt{2}/2</m>.\\
+<m>C_1 = {1 + sqrt{2}}/2, C_2 = {1 - sqrt{2}}/2</m>.
-Окончательно имеем: <m>f(n-1) = {{1 + sqrt{2}}^n + {1 - sqrt{2}}^n}/2</m>.
+Окончательно имеем: <m>f(n-1) = {{(1 + sqrt{2})}^n + {(1 - sqrt{2})}^n}/2</m>.
 **Обсуждение**
-Последовательность, описная в обсуждаемой задаче, состоит из числителей наилучших рациональных приближений числа <>sqrt{2}.</m>\\
+Последовательность, описная в обсуждаемой задаче, состоит из числителей наилучших рациональных приближений числа <m>sqrt{2}.</m>\\
 С рядом других ситуаций, в которых возникает f(n), можно познакомиться в онлайн-энциклопедии математических последовательностей. Наша f(n) представлена там под номером [[http://oeis.org/A001333 | A001333]].