Как выяснилось вскоре после опубликования решения ММ215, предположение, высказанное в последней фразе обсуждения подтвердилось. Первый пример многогранника (им оказалась шестиугольная призма), который можно до бесконечности тетраэдризировать указанным способом, прислал мне Владимир Чубанов. Почти сразу после этого я (и независимо от меня озадаченные мной ученики К. Никаноров и В. Таранчук) показали что куб можно тетраэдризировать на любое нечетное число тетраэдров начиная с 5. Вот обоснование

Доклад К. Ниванорова и В. Таранчука.

Вопрос о существовании выпуклых многогранников, которые нельзя указанным способом разрезать на конечное число тетраэдров, остается открытым.