Конкурсная задача ММ224 (6 баллов)

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.

Решение

Не смог выбрать лучшие решения. Поэтому приведу все: Евгения Гужавина; Владимира Дорофеева; Анатолия Казмерчука; Валентины Колыбасовой; Олега Полубасова; Виктора Филимоненкова; Владислава Франка.

Обсуждение

На этот раз все откликнувшиеся марафонцы - молодцы! Не допустили ошибок в решении. Поэтому, во избежание нарушения закона сохранения (и приумножения) ошибок во Вселенной, кое-что напутал ведущий.
Все было примерно как в старом (времен Norton Commander для DOS) анекдоте: Смотрю слева диск C и справа диск C. А зачем мне два одинаковых диска С? Взял и один отформатировал.
Когда я составлял задачку, в условии фигурировали буквенные обозначения исходного треугольника и трисектрис, из коих однозначно следовало, что именно средний треугольник имеет площадь 4 (догадка Валентиы Колыбасовой верна). Но в последний момент перед публикацией я (а зачем мне два одинаковых диска C?) решил убрать буковки. Буковки исчезли, а количество решений утроилось.

Присланные решения - настоящий разгул тригонометрии: равные ответы выглядят совершенно различными за счет разного представления.
И лишь Олег Полубасов упомянул возможность решения через окружности Аполлония. Сам я решал именно через них.

Награды

За решение задачи ММ224 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 8;
Владислав Франк и Анатолий Казмерчук - по 7;
Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Владимир Дорофеев и Евгений Гужавин - по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

---