Очередной раз режем квадрат
Конкурсная задача ММ185 (5 баллов)
Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.
Решение
Приведу решения Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.
Обсуждение
Задача коварна тем, что обоснование правильности ответа не сколь очевидно, как сам ответ. Приведу некоторые моменты (на которых поскользнулись некоторые участники): «Чтобы получить k +1 прямоугольник, необходимо один из уже разрезанных прямоугольников разрезать на два прямоугольника».. Если бы процитированное выше было правдой, в каждом разбиении существовал бы сквозной разрез от одной стороны квадрата, до противоположной. Но
Замечательно то, что строгие обоснования не дублируют одни и те же идеи, а отличаются разнообразием.
Обобщение задачи заменой 100 прямоугольников на другое количество, конечно, тривиально. Неожиданно легко (формулируя задачу, я не подумал о таком варианте обобщения) проходит переход с квадрата на куб и т.д. А вот переход к прямоугольнику дает более неожиданный эффект. Диапазон изменения P пересекает быть полуинтервалом: наибольшее достижимое значение «уходит в отрыв» от остальных.
Награды
За различные (по строгости обоснования и разнообразию обобщений) решения ММ185 конкурсанты получают следующие призовые баллы: Анатолий Казмерчук - 11; Олег Полубасов - 9; Сергей Половинкин - 7; Виктор Филомоненков, Антон Никонов и Дмитрий Пашуткин - по 5; Николай Дерюгин - 3.
Эстетическая оценка задачи 4.9 балла