Конкурсная задача ММ202 (5 баллов)
При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}?
Решение
Привожу решения Олега Полубасова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука.
Обсуждение
Вторая задача тура также не вызвала серьезных затруднений у участников Марафона (пара вычислительных ошибок не в счет).
Естественным обобщением задачи является нахождения количества решений при каждом значении параметра a. По сути, ответ на этот вопрос почти сам собой получается при поиске ответа на вопрос задачи. Я поощрил одним призовым баллом участников, явно (и без погрешностей) указавших количество решений при каждом a.
Евгений Гужавин дополнительно рассмотрел случай альтернативного определения функции {x}. Я не стал давать за это дополнительные баллы. Возможно, тут подсознательно сработало мое негативное отношение к этому определению. Официальные же отмазки таковы:
функция {x} уже встречалась в марафонских задачах (см., например, ММ79) и тогда ее толкование не вызвало разночтений;
уточняющие вопросы разрешены и приветствуются.
Награды
За решение задачи ММ202 начислены следующие баллы: Олег Полубасов и Евгений Гужавин - по 6 призовых баллов; Сергей Половинкин, Игорь Ханов, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Валентина Колыбасова (Ариадна), Тимофей Ломоносов - по 5 призовых баллов; Владимир Дорофеев, Алексей Извалов - по 3 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла