Конкурсная задача ММ266 (7 баллов)
Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:
1) τ(n3 )=τ(n)2, где n – произведение всех выписанных чисел;
2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
Решение
Привожу решения Василия Дзюбенко, Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили.
Обсуждение
Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз.
Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского («А какие же они по-вашему?!») сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.
Но победа ведущего оказалась пирровой, поскольку, на самом деле, решений оказалось два (я потерял решение с одним составным числом).
Очередной (и не последний) раз размышляя, как разруливать возникшую ситуацию я пришел к такому «соломонову» решению: нашедшим одно решение ставить за задачу полный балл (ведь они решили задачу не хуже ведущего, да и итог обсуждения с Олегом как-бы подсказывал, что второго решения искать не надо), а нашедших оба решения поощрять дополнительным баллом (как обычно дополнительные баллы раздаются более скупо, чем основные).
Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях.
Мераб Левиашвили, оставив незыблемым условие τ(n3 )=τ(n)2 (а значит, и попарную взаимную простоту дней рождения), занялся рассмотрением задачи в других календарях.
Анатолий Казмерчук, наоборот, сосредоточил свое внимание на на уравнении τ(na )=τ(n)b
Рассуждения Анатолия представляются мне более интересными (менее искусственными). Впрочем, возможно, это лишь моя субъективная «кочка зрения».
Награды
За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 10;
Мераб Левиашвили - 9;
Василий Дзюбенко - 8;
Денис Овчинников - 8;
Владислав Франк - 8;
Александр Романов - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Олег Полубасов - 7;
Владимир Дорофеев - 7.
Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла