Светлой памяти C5 ЕГЭ посвящается.

Конкурсная задача ММ112 (6 баллов)

Решить уравнение при всех возможных наборах значений параметров a и b:
11x+a²-2a+b²+4b+|2x+a²-2a+4b+b²|+|-3x+2+a²-2a-4b-b²|+|-x-4b-b²+a²-2a|+18|x-2|=20

Решение

График функции
f(x)=11x+a²-2a+b²+4b+|2x+a²-2a+4b+b²|+|-3x+2+a²-2a-4b-b²|+|-x-4b-b²+a²-2a|+18|x-2|-20, очевидно, представляет собой ломаную. Поскольку 18 > 11+2+3+1, независимо от того с каким знаком раскрываются абсолютные величины, при x<2 функция убывает, а при x>2 - возрастает. Поэтому разрешимость уравнения равносильна условию f(2) ≤ 0.
После замены переменных c=(a-1)²+(b+2)²,  d=(a-1)²-(b+2)² получим -3+c+|c-1|+|d-1|+|d+1| ≤ 0.
Учитвыя, что с-1+|c-1| ≥ 0 и |d-1|+|d+1| ≥ 2, приходим к выводу, что условие f(2)<0 не выполняется никогда, а f(2)=0 выполняется тогда и только тогда, когда c ≤ 1 и -1 ≤ d ≤ 1. Возвращаясь к параметрам a и b и принимая во внимание, что (a-1)²+(b+2)² ≤ 1 влечет |(a-1)²-(b+2)²| ≤ 1, окончательно получаем
Ответ: x=2 при (a-1)²+(b+2)² ≤ 1; при остальных a и b нет решений.

Обсуждение

Любопытно выглядит (а заодно подтверждает правильность наших выкладок) график f(2), рассматривааемой как функция от a и b:

Награды

За правильное решение задачи ММ112 Андрей Халявин, Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Владислав Франк и Сергей Половинкин получают по 6 призовых баллов. Николай Дерюгин (он потерял внутреннюю часть круга) получает 4 призовых балла, а Эдвард Туркевич (у него и вовсе от круга остались всего 4 точки) - 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла