Конкурсная задача ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов.

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Для всех прошедших конкурсов (за исключением самых древних) характерна одна и та же картина: где-то ближе к середине конкурса начинается отток конкурсантов. Текущий конкурс - не исключение. На ММ274 получено наименьшее количество откликов

Как появилась ММ274? Мое внимание привлек тот факт, что каждое из натуральных чисел n, для которых varphi(n)=tau(n), на 1 меньше некоторой степени простого числа. Тем самым, чисто арифметическую задачу удалось сформулировать как алгебраическую (возможно, отпугнув при этом некоторых конкурсантов).

Константин Шамсутдинов потерял один случай (самый тривиальный). У Дениса Овчинникова снят 1 балл, поскольку в его решении (идентичном приведенным) нигде не упоминается, какие числа годятся в качестве количества элементов конечного поля. Вполне возможно, Денис подразумевал это, но я не умею читать мысли на расстоянии (вблизи иногда получается).

Награды

За решение задачи ММ274 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Владислав Франк - 6;
Денис Овчинников - 5;
Константин Шамсутдинов - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла