Конкурсная задача ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Большинство конкурсантов прислали решения значительно проще авторского. Я сразу нашел в додекаэдре треугольное (вторые концы трех ребер, имеющих общую вершину), квадратное (вторые концы ребер, смежных данному ребру) и пятиугольное (вторые концы ребер, исходящих из вершин пятиугольной грани) сечения, а затем потратил некоторые усилия на проверку отсутствия других подходящих сечений, пройдя мимо очевидного факта равноправия всех диагоналей граней додекаэдра.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Константин Шамсутдинов - 6;
Денис Овчинников - 6;
Владислав Франк - 3 (Влад ухитрился потерять пятиугольные сечения додекаэдра).

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла