Конкурсная задача ММ279 (8 баллов)

Новые пятиугольные числа

Существует ли выпуклый многогранник, все f граней которого являются пятиугольниками, если
а) f=2022;
б) f=2023;
в) f=2024?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

ММ279 как лакмусовая бумажка выявила некую проблему. То ли Марафон стал слишком длинным, то ли - ведущий слишком старым. А скорее всего, и то, и другое. Около шести лет назад в XXII Марафонском конкурсе предлагалась простенькая задача [url=https://dxdy.ru/post1156463.html#p1156463]MM214[/url]. При ее обобщении сразу два конкурсанта (Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов) дали полное описание всех возможных количеств граней выпуклых многогранников, все грани которых пятиугольны. Загадочным образом ведущий ухитрился забыть об этом. Впрочем, не только ведущий. Если бы не бдительность Владимира Дорофеева, ММ279 могла бы сойти за оригинальную задачу.

Мераб Левиашвили (он не участвовал в конкурсе 2016 года) вслед за Олегом Полубасовым и Анатолием Казмерчуком описал все выпуклые многогранники с пятиугольными гранями. Его доказательство несуществования многогранника в 14-ю пятиугольными гранями существенно отличается от приведенных предшественниками. Аналогичный прием Мераб применил к доказательству отсутствия выпуклого семигранника с четырехугольными гранями (отсутствие такого многогранника отмечалось при разборе ММ211).

Награды

За решение задачи ММ279 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Денис Овчинников - 8;
Владислав Франк - 8;
Владимир Дорофеев - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла