Конкурсная задача ММ280 (13 баллов)

Каждой твари по … тройке

Какие векторы граней может иметь выпуклый многогранник, если в этих векторах нет чисел, отличных от 3 и 0?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

Заключительная задача традиционно планировалась как самая сложная в конкурсе и соответственно оценивалась дорого. Это не стало камнем преткновения для конкурсантов. Большинство из них уверенно справились с задачей. А Мераб Левиашвили не выдержал и прислал таки большое (несколько десятков страниц) обобщение. Не выдержал и ведущий и (вопреки новым правилам) поощрил Мераба дополнительными призовыми баллами. В свое оправдание скажу:
1) в новых правилах оставлена лазейка для такого поощрения;
2) Мераб и без того занял бы чистое первое место. Так что спортивного значения скромные (по сравнению с огромной проделанной работой) дополнительные баллы не имеют.

Отмечу, что в приведенном решении представлена лишь часть обобщения ММ280.
Вторую часть не публикую по следующим причинам:
1. Я пока только в самых общих чертах посмотрел труд Мераба. Откладывать разбор задачи до полного его изучения - значит подвешивать практически завершенный конкурс на неопределенный срок. Это ровно то, от чего я пытался уйти.
2. Надо бы проверить (например, спросить на MathOverFlow) является ли полученные результаты новыми. В случае положительного ответа я бы рекомендовал Мерабу опубликовать их. 3. Возможно, я использую обобщение (не обязательно целиком) в качестве темы исследовательской работы продвинутых старшеклассников. В таком случае наличие легко находимого готового решения - плохое подспорье.

Два слова о решении Константина (подход которого оформлению результатов - полная противоположность подходу Мераба). Но интересно не это, а способ представления выпуклых многогранников. Все остальные участники традиционно используют классический подход - через теорему Штайница. В результате некоторые графы, представляющие требуемые многогранники выглядят ужасно. В отличие от картинок Константина.

Награды

За решение задачи ММ280 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Виктор Филимоненков - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Денис Овчинников - 13;
Владислав Франк - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла