Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/11/02 11:22]
letsko
marathon:about [2020/09/28 07:25] (текущий)
letsko [Математический марафон]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Завершается **XXV юбилейный ​конкурс в рамках Математического марафона!**+Продолжается **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 26: Строка 26:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
----- 
  
  
-===== ММ250 ===== +===== ММ255 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) +
-Решения принимаются до __29.11.2019__+
  
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.+ **Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)
  
-----+Решения принимаются до __04.10.2020__
  
-====== Разбор задач ====== +Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ​ 
----- +  
-===== ММ249 =====+===== ММ256 =====
  
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)+ **Конкурсная задача ММ256** (баллов)
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a ​иметь ровно 2020 решений?​+Решения принимаются до __11.10.2020__
  
-**Решение**+При каком наименьшем натуральном n уравнение ​n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}{{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Примечание: {x} – дробная часть числа x[x]  – целая часть (пол) числа x.
  
-**Обсуждение** ​+===== ММ257 =====
  
-Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ​ряды марафонцев поредели. Впрочем,​ не столь катастрофически,​ как это бывало в предыдущих конкурсах. + **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
-В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру,​ Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако,​ на финише мощно спуртует ​Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин,​ ни Анатолий темп не снижали. ​+
  
-Честно признаюсь,​ что я не вник во все детали решения ​Мераба,​ в котором только ​перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение,​ меня поймут.  +Решения принимаются до __18.10.2020__
-Впрочем,​ и того, в чем удалось разобраться хватило ​для самой высокой оценки за ММ249.+
  
-Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). +Задача ММ257 ​сюжетно связана с ММ237
-Но разнообразие ​сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем ​степени никто, кроме ​Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.+
  
-**Награды**+Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. ​Но ни один из них не зафиксировал этот ​граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
  
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают ​следующие призовые баллы:\\  +Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ 
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа ​имелись циклы.\\ 
-Константин ​Шамсутдинов ​- 12;\\ +Даня: А еще ​среди связных  компонент не было изоморфных.\\ 
-Анатолий Казмерчук - 12;\\ +Маня: Число ребер в одной ​из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ 
-Виктор ​Филимоненков - 10;\\ +Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
-vpb - 10;\\ +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
-Владислав Франк - 9.+Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. ​\\ 
 +Нина: А степень ​одной из вершин не менее чем ​на 2 превосходила степень каждой из остальных ​вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
  
-**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.7 баллов ** +Услышавший эти реплики преподаватель ​сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
-----+Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
  
-===== ММ248 =====+===== ММ258 =====
  
-**Конкурсная задача ММ248** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ258** (баллов)
  
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел+Решения принимаются до __24.10.2020__
  
-**Решение**+Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
  
-Привожу решения {{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}},​ {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. +===== ММ259 =====
-(Решение Анатолия Казмерчука,​ как всегда,​ не только верно, но и замечательно оформлено,​ но надо же знакомить публику и новыми лицами ​Марафона. Впрочем,​ новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.) ​+
  
-**Обсуждение** + **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
  
-ММ248 далась не всем конкурсантам.  +Решения принимаются до __31.10.2020__
-Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом,​ разумеется,​ не означает,​ таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. +
-Поэтому, ​на всякий случай,​ еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка! +
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. +
-В остальном,​ все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).+
  
-К моему удивлению, ​лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число.  +Может ли треугольник ​с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  
-(Хотя нельзя исключить,​ что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных ​решений.)+a) равновелик;\\ 
 +б) подобен;\\ 
 +в) равен \\ 
 +исходному?​
  
-**Награды**+===== ММ260 =====
  
-За решение задачи ММ248 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы:  + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
-Владислав Франк - 9; +
-vpb - 9; +
-Анатолий Казмерчук - 8; +
-Константин Шамсутдинов - 8; +
-Виктор Филимоненков - 8; +
-Мераб Левиашвили - 8; +
-Александр Домашенко - 3; +
-Владимир Дорофеев - 1; +
-Анна Букина - 1.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** +Решения принимаются ​до __14.11.2020__
-----+
  
-===== ММ247 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)+Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231
  
 +Пусть ABC – некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n). 
- 
-**Решение** 
- 
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. ​ 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238. 
-Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. ​ 
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа,​ ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал,​ чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?​!) 
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ 
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. 
-Ограничились :-(\\ 
-Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):​\\ 
-Сколько целых значений принимает f<​sub>​k</​sub>​(n) и какие целые числа могут быть этими значениями?​ (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ 
-Ясно, что каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Владислав Франк - 9;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 9;\\ 
-Владимир Дорофеев - 8;\\ 
-Анна Букина - 7;\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ 
-Валентин Пивоваров - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 6;\\ 
-waxter - 6;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** 
 ---- ----
  
 +====== Разбор задач ======
  
-===== ММ246 ===== +===== ММ254 =====
- +
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)+
  
 +**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
  
-Сколько ​(с точностью до подобия) ​существует разносторонних ​треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?+Вася вписал ​круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника ​и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (кругеможет случиться это событие?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. +Привожу решения {{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ246 ​оказалась ​трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. +В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок отя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы ​с пониманием условия и вопроса задачи. 
-Особенно странным оказалось именно ​приобретение лишних решений. Ведьв отличие от потери нужных, ​эта ошибка легко проверяется+И если для ММ251 ​такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи)то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно ​и однозначно
-Правда, за один (наиболее удививший ​меня) лишний треугольник ​я не стал ​штрафовать нашедшего его участникаРечь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, ​который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не былно в остальномпо мнению приведшего его ​участника, удовлетворял условию (?!).+Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "​шагов",​ словом "​кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем ​не менеесосчитали его не все. Но я заранее решил, что ​не буду считать ​это за ошибку. 
 +Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже ​при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "​может ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли")
 +Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались. 
 +Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов ​треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкованиеТем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, ​поскольку параметры трех геометрических прогрессий ​были определены верното есть, было сделано практически все, что нужно для ​решения. 
 +Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих ​более 80% площади треугольника. Проанализировав условиея пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) 
 +Наконецв одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные ​данные так, что правильным ответом будет, например, такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​.
  
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать линапример, ​биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.+Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника ​к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. 
 +Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ.  
 +Владислав Франк получил нижнюю границу.
  
-Мне представляется, ​что задача становится прощеа перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов ​исходного треугольника.  +Отдельно отмечу замечательное ​наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость ​отношения площади египетского треугольника ​к сумме площадей ​вписанного круга ​и трех кругов, вписанных ​в углы треугольника, ​к π/2. 
-К моему удивлению этим путем пошли ​менее половины участников. Тем ​не менее, некоторые из техкто не упорядочивал углы ​исходного ​треугольника, ​добрались до верного ответа ;-)+
  
-Любопытно, ​что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных ​вершин, и один с разрезами,​исходящими из одной ​вершины. +Участники поставили передо мной ​непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения ​задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных ​баллов при одновременном вычитании основных смниже.
- +
-К вопросу ​о красоте. \\ +
-ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие несколькиха не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто ​поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие ​трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь ​они - принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает ​при ​разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 7\\ 
-Анатолий Казмерчук ​- 7;\\ +Владислав Франк - 7\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +Олег Полубасов ​- 7\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 6\\ 
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +Виктор Филимоненков - 6\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Валентин Пивоваров - 4.
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла** +**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **
----- +
- +
-===== ММ245 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) +
- +
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан,​ а второй – треугольнику из своих высот. +
- +
-**Решение** +
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}},​ {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно,​ подробные,​ с чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно,​ краткое,​ хотя и не самое краткое).  +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие,​ скорее,​ недостаточной аккуратности. +
-Хотя у меня были сомнения,​ стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "​найти отношение площадей",​ а не "​найти отношение площади первого к площади второго"​.  +
- +
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом,​ чтобы ответ стал единственным. +
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ244 =====+===== ММ253 =====
  
-**Конкурсная задача ММ244** (баллов)+**Конкурсная задача ММ253** (баллов)
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение ​призмыпроходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81Найти объем призмы?
-- Я задумала три попарно ​различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре ​произведение, а Варе сумму ​задуманных цифр. Попробуйте ​отгадать эти цифры.   +
-Узнав ​сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала ​задумались,​ а затем разговорились:​ \\ +
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание:​ У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина ​Шамсутдинова}}+Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей ​краткостью), ​{{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью), ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда, замечательное во всех отношениях).
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ244 оказалась первой ​задачей юбилейного конкурса, ​вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +Предлагая эту ​задачу, я изначально был ​уверен, что участники ​не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы ​на ММ251 эту уверенность поколебали
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:​\\  +Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ​ответу оказались неверны ​из-за ​вычислительных ошибок.
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;\\ +
-разобраться в программенаписанной на неизвестном языке, и присланной вместо ​решения;\\ +
-как оценивать логическую ​ошибку при верной ​арифметике;\\ +
-как ​оценивать арифметическую ошибку при верной логикене повлиявшую ​на ответ;\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, ​повлиявшую на ответ;\\ +
-наконец, ​как оценить верный ответ при отсутствии решения+
  
-Отмечу, что ​перечисленные ситуации (наряду с тему, которые ​не вызвали вопросоввстречаются в присланных решениях+Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "приличными". Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось.  
 +Но сделать ​оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более ​сложный случай пятиугольного сечения ​приводит к более простому ответу.
  
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори.  +Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве ​решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью ​сечения
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили ​свои рассуждения). +
- +
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать ​и я). +
- +
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] ​можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть ​решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье)+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 6\\ 
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +Василий Дзюбенко ​5\\ 
-Владислав Франк - 6;\\ +Владислав Франк - 5\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Константин Шамсутдинов 5\\ 
-Анна ​Букина 4;\\ +Валентин Пивоваров - 5\\ 
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +Олег Полубасов - 4\\ 
-Валентина Колыбасова 3;\\ +Виктор Филимоненков - 4.
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко ​- 3;\\ +
-Лев Песин ​3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **
 ---- ----
  
  
-===== ММ243 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ 
- 
- 
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β.  
- 
-**Решение** 
- 
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}},​ {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи). 
- 
-Еще одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. ​ 
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ 
-Тем самым, они оправдали ожидания ведущего,​ получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи. 
-Соответственно,​ и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал,​ что они есть), доверив это участникам Марафона. ​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ 
-Антон Никонов - 3. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
 +===== ММ252 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
  
- +Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что ​суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:  
-===== ММ242 ===== +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ 
- +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ 
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) +Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые, k – натуральное), обладающих таким ​свойством.
- +
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта ​считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах, округленных ​до целого ​числа. После тогокак ​проголосовали n посетителейсуммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +
-a) При каком наименьшем m такое возможно?​\\ +
-b) При каком наименьшем n такое ​возможно?​\\  +
-c) При каком наименьшем m+n такое ​возможно?+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Судьбу ​задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача ​будет достаточно интереснаа в противном случае скучна. О том, ​что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.+На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем ​на ММ251 :-( \\ 
 +И это ​вопреки тому, что добавилось ​два новых участника: ​один относительно новый (в рамках текущего конкурса)а другой - новый участник Марафона в целом.\\ 
 +Некоторые ​из "​пропавших"​ (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При томчто задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, ​проблема ​в нахождении одного подходящего примера.\\ 
 +В этой ​связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился ​к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиадыпроводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  
  
-Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок ​именно там. К чести конкурсантов ​с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще ​более неожиданной ​для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной ​трактовкой термина "округление"Мудрые составители ЕГЭ-шной ​задачи оей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был ​уверен, ​что у конкурсантов с этим проблем ​не будет...+Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
 +Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q, ​при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "темное пятно"​. Но, возможно, доказательство можно довести до ума. 
 +Олегу Полубасову удалось построить ​более одной ​серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег ​подловил ​ведущего ​на неаккуратной ​формулировке (ох уж эти формулировки!)В самом ​деле, в условии ​сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все ​конкурсанты) ничего не говорится.
  
-Любопытны примерыприведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +Интересноявляется ли найденная серия единственной если, все жерассматривать ​разложения на натуральные сомножители
-29 - 3 раза;\\ + Полагаю, что ​для всех подходящих ​серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза. +
- +
-Я не стал штрафовать ​участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это ​не спрашивалось), ​ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ​ссылка на перебор,​ с правильным указанием границ перебора ​является (при наличии верного ответа) ​достаточным обоснованием. +
- +
-Я ожидал достаточно массового упоминания ​того факта, что суммарный рейтинг ​может быть ​любым целым числом в пределах ​от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (напримеркаждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение ​обнаружилось лишь в одной работе ​и было ​поощрено дополнительным баллом.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ +Олег Полубасов - 5\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Василий Дзюбенко ​4\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Владислав Франк - 4\\ 
-Валентина ​Колыбасова - 5;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 4\\ 
-Антон Никонов - 5;\\ +Валентин Пивоваров - 1.
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 3.балла **
 ---- ----
  
-===== ММ241 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+===== ММ251 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ251** (балла)
  
-При ​каких ​натуральных n множество {1, 2, …, n} можно ​разбить на два подмножества такчто произведение ​элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?+Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее ​возможное число ​страницкоторое ​могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший ​возможный номер отсутствующей страницы, при ​условии, что в книге было n страниц.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docxлександра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} ​(новичка Марафона).
  
-**Обсуждение**+**Обсуждение** ​
  
-На первую ​задачу юбилейного Марафонского конкурса ​поступило 10 решений+Совершенно неожиданно ​задача ММ251, которую я считал ​легкой и поместил в конкурс "​для разогрева", вызвала затруднения у значительного ​числа ​конкурсантов, в том числе ​у признанных асов. 
-Радует ​появление сразу троих новых участников. Огорчает ​исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего ​конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу ​со следующей задачи.+Кроме неверных ​решений ​я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:\\ 
 +Из книги нельзя ​вырвать страницы - только листы;\\ 
 +Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку "несколько ​страниц";​\\ 
 +Не указанона какой стороне разворота книги находится ​первая ​страница;​\\ 
 +не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...
  
-Задача ММ241 ​не вызвала затруднений ​у большинства конкурсантов.  +Я исходил из того, ​что на каждом листе расположены ​две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу ​не встречал книги, где на правом развороте ​были ​бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин)Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, ​дипломные работы, диссертации... и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что ​самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ 
-Но был ​один момент, вызвавший разногласия участников. ​Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +Что касается толкования слова "​несколько", ​на мой взгляд,​ одна ​страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатьюэтот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара ​вырванных страниц.\\ 
-Участники разделись на категории:\\  +Я не оговорил эти ​моменты вполне сознательнополагая, что ​без этих нюансов ​задача ​станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще ​не вошли в форму.\\ 
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\ +Каждый из перечисленных ​моментов,​ стал для ​кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное ​условие,​ что страницы вырывались подряд.
-вторые (их большинствополагают, что задача ​разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается ​мнения, что ​задача не разрешима для обоих упомянутых n.+
  
-Александр ​не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаюон отталкивался от бинарности ​операций сложения и умножения. +Даже некоторые из техкто пришел к верному ​ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге ​было ​100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное ​число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037Ноесли бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц 
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. +Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании ​того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что "один" - это не "несколько". 
-Я согласен с аргументом про произведение ​элементов пустого множествано... В формулировке идет речь ​о разбиении. А в разбиении по определению участвуют ​только непустые подмножества+Я не стал придираться к этим моментам. 
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен ​присоединиться к большинствуНо при этом ​не снижал баллы тем, кто ​придерживается ​альтернативных ​мнений.+
  
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких ​разбиений и прведение единичного примера не учитывались)+Самым ​предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжкитак ​и их альтернативные разновидности.\\ 
-Мераб Левиашвили предложил ​несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).  +А единственным ​конкурсантам, рассмотревшим обобщение ​задачи стал ​Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть ​суммами номеров вырванных ​страниц.
- +
-Напоминаю как ​новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Анатолий Казмерчук ​4;\\ +Олег Полубасов ​3\\ 
-Мераб Левиашвили ​4;\\ +Елена Фомина - 3\\ 
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 4;\\ +Владислав Франк - 3\\ 
-Валентина ​Колыбасова 4;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 3\\ 
-Антон Никонов 4;\\ +Константин Кноп - 1\\ 
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +Александр Домашенко - 1\\ 
-Анна Букина - 2.+Валентин Пивоваров - 1\\ 
 +Анна Букина - 1\\ 
 +cubaca - 1.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
 ---- ----
 +
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2020/09/28 07:25 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006