Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2020/10/19 10:07]
letsko
+++ marathon:about [2020/12/23 18:36] (текущий)
letsko [ММ263]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+Поздравляю всех марафонцев и их болельщиков с наступающей чередой новогодне-рождественских праздников!\\
+Отдельное поздравление со скорым завершением 2020-го. Очень хочется (хотя и не очень верится), чтобы все беды, которые он принес ушли вместе с ним.
-Продолжается **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**
+В качестве новогоднего подарка предлагаю **задачи очередного XXVII марафонского конкурса!**
+Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
@@ Строка 28: / Строка 32: @@
 ====== Текущие задачи ======
 ----
+===== ММ261 =====
+ **Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-===== ММ258 =====
+Решения принимаются до __13.03.2021__
- **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
+Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-Решения принимаются до __24.10.2020__
+===== ММ262 =====
+ **Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
+Решения принимаются до __20.03.2021__
-===== ММ259 =====
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней (по длине) стороне.
- **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
+Решения принимаются до __27.03.2021__
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
+===== ММ264 =====
+ **Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
+Решения принимаются до __04.04.2021__
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
+===== ММ265 =====
+ **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
+Решения принимаются до __11.04.2021__
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
+===== ММ266 =====
+ **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
+Решения принимаются до __18.04.2021__
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных. \\
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
+===== ММ267 =====
+ **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Решения принимаются до __25.04.2021__
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+===== ММ268 =====
+ **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+Решения принимаются до __02.05.2021__
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
+===== ММ269 =====
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
+Решения принимаются до __11.05.2021__
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
+===== ММ270 =====
+ **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
+Решения принимаются до __22.05.2021__
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
+----
+====== Разбор задач ======
+----
+===== ММ260 =====
+ **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\
+AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\
+треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\
+Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
+**Решение**
+Привожу решения {{:marathon:mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm260_val.pdf|авторское}}.
+**Обсуждение**
+ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\
+Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась.
+Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний.
+Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.
+В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан).
+Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).
+Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
+**Награды**
+За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Анатолий Казмерчук - 13\\
+Денис Овчинников - 13\\
+Константин Шамсутдинов - 12\\
+Виктор Филимоненков - 11\\
+Владислав Франк - 10\\
+**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
+----
+===== ММ259 =====
-Решения принимаются до __31.10.2020__
+**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
 Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\
@@ Строка 49: / Строка 179: @@
 исходному?
-===== ММ260 =====
+**Решение**
- **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
+Привожу решения {{:marathon:mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://dxdy.ru/post1490274.html#p1490274]|тут]].
-Решения принимаются до __14.11.2020__
+**Обсуждение**
+Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
+Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
+Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231
+Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта.
+За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии).
+Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если
+Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному.
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;
+В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...; 0.5201582408...).
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC.
+Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
+Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395..., 0.4677703801...), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.
+Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-)
+**Награды**
+За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Анатолий Казмерчук - 9\\
+Владислав Франк - 8\\
+Денис Овчинников - 8\\
+Константин Шамсутдинов - 7\\
+Виктор Филимоненков - 5\\
+**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **
 ----
-====== Разбор задач ======
+===== ММ258 =====
+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
+Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
+**Решение**
+Привожу решения {{:marathon:мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.
+**Обсуждение**
+ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно, что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько, что его вполне можно осуществить вручную.
+Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:
+"Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:
+-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.
+Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.
+Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."
+Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\
+Легко понять, что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\
+Немногим сложнее обосновывается, что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом, сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\
+А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее.
+По-видимому, они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\
+При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\
+Во-первых, сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления).
+А во-вторых, 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами, а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось, что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел.
+Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.
+**Награды**
+За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Анатолий Казмерчук - 8\\
+Олег Полубасов - 8\\
+Владислав Франк - 8\\
+Константин Шамсутдинов - 7\\
+Денис Овчинников - 7\\
+Виктор Филимоненков - 7\\
+Анна Букина - 7.
+**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
+----
+PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата.
+----
 ===== ММ257 =====
@@ Строка 88: / Строка 284: @@
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и Анатолия Казмерчука.
+Привожу решения {{:marathon:fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
 **Обсуждение**
@@ Строка 102: / Строка 298: @@
 Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект.
-У тех, кто отозвался, задача затруднений не вызвала. Еинственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта.
+У тех, кто отозвался, задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта.
 **Награды**
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 Анатолий Казмерчук - 10\\
 Константин Шамсутдинов - 9\\