marathon:about [2020/10/19 10:07] letsko |
marathon:about [2020/12/23 18:36] (текущий) letsko [ММ263] |
| |
---- | ---- |
| Поздравляю всех марафонцев и их болельщиков с наступающей чередой новогодне-рождественских праздников!\\ |
| Отдельное поздравление со скорым завершением 2020-го. Очень хочется (хотя и не очень верится), чтобы все беды, которые он принес ушли вместе с ним. |
| |
Продолжается **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** | В качестве новогоднего подарка предлагаю **задачи очередного XXVII марафонского конкурса!** |
| |
| Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время. |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
===== ММ258 ===== | Решения принимаются до __13.03.2021__ |
| |
**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) | Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
Решения принимаются до __24.10.2020__ | ===== ММ262 ===== |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). | Решения принимаются до __20.03.2021__ |
| |
===== ММ259 ===== | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней (по длине) стороне. |
| |
**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
| ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
| Решения принимаются до __27.03.2021__ |
| |
| Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
| ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
| Решения принимаются до __04.04.2021__ |
| |
| Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
| (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __11.04.2021__ |
| |
| Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
| ===== ММ266 ===== |
| **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __18.04.2021__ |
| |
| Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных. \\ |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
| Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
| ===== ММ267 ===== |
| **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __25.04.2021__ |
| |
| Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
| ===== ММ268 ===== |
| **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __02.05.2021__ |
| |
| Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
| ---- |
| |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
| ===== ММ269 ===== |
| **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __11.05.2021__ |
| |
| Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
| a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
| ===== ММ270 ===== |
| **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
| Решения принимаются до __22.05.2021__ |
| |
| Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
| ---- |
| |
| ====== Разбор задач ====== |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ260 ===== |
| **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) |
| |
| __Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ |
| |
| Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ |
| AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ |
| треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ |
| Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm260_val.pdf|авторское}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ |
| Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась. |
| |
| Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний. |
| Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше. |
| |
| В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). |
| Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны). |
| Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь. |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Анатолий Казмерчук - 13\\ |
| Денис Овчинников - 13\\ |
| Константин Шамсутдинов - 12\\ |
| Виктор Филимоненков - 11\\ |
| Владислав Франк - 10\\ |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ259 ===== |
| |
Решения принимаются до __31.10.2020__ | **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) |
| |
Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ | Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ |
исходному? | исходному? |
| |
===== ММ260 ===== | **Решение** |
| |
**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) | Привожу решения {{:marathon:mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://dxdy.ru/post1490274.html#p1490274]|тут]]. |
| |
Решения принимаются до __14.11.2020__ | **Обсуждение** |
| |
| Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции. |
| Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов. |
| Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами. |
| |
Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 | Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта. |
| За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). |
| Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному. |
| |
Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если | Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному. |
AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; | В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...; 0.5201582408...). |
треугольник KLM подобен треугольнику ABC. | Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера. |
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? | |
| Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395..., 0.4677703801...), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. |
| |
| Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Анатолий Казмерчук - 9\\ |
| Владислав Франк - 8\\ |
| Денис Овчинников - 8\\ |
| Константин Шамсутдинов - 7\\ |
| Виктор Филимоненков - 5\\ |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла ** |
| |
---- | ---- |
| |
====== Разбор задач ====== | |
| ===== ММ258 ===== |
| **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) |
| |
| Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно, что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько, что его вполне можно осуществить вручную. |
| |
| Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега: |
| |
| "Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения: |
| 2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60. |
| Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}. |
| Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз." |
| |
| Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ |
| Легко понять, что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ |
| Немногим сложнее обосновывается, что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом, сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ |
| А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. |
| По-видимому, они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ |
| При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ |
| Во-первых, сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). |
| А во-вторых, 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами, а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось, что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел. |
| |
| Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела. |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Анатолий Казмерчук - 8\\ |
| Олег Полубасов - 8\\ |
| Владислав Франк - 8\\ |
| Константин Шамсутдинов - 7\\ |
| Денис Овчинников - 7\\ |
| Виктор Филимоненков - 7\\ |
| Анна Букина - 7. |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** |
| ---- |
| PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата. |
| ---- |
| |
===== ММ257 ===== | ===== ММ257 ===== |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и Анатолия Казмерчука. | Привожу решения {{:marathon:fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}. |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. | Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. |
| |
У тех, кто отозвался, задача затруднений не вызвала. Еинственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. | У тех, кто отозвался, задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. |
| |
**Награды** | **Награды** |
| |
За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
Анатолий Казмерчук - 10\\ | Анатолий Казмерчук - 10\\ |
Константин Шамсутдинов - 9\\ | Константин Шамсутдинов - 9\\ |