Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/10/19 10:07]
letsko
marathon:about [2020/12/23 18:36] (текущий)
letsko [ММ263]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +Поздравляю всех марафонцев и их болельщиков с наступающей чередой новогодне-рождественских праздников!\\ ​
 +Отдельное поздравление со скорым завершением 2020-го. Очень хочется (хотя и не очень верится),​ чтобы все беды, которые он принес ушли вместе с ним.
  
-Продолжается ​**XXVI конкурс ​в рамках Математического марафона!**+В качестве новогоднего подарка предлагаю ​**задачи очередного XXVII марафонского ​конкурса!** 
 + 
 +Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время. ​
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
Строка 28: Строка 32:
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-===== ММ258 =====+Решения принимаются до __13.03.2021__
  
- ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)+Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую ​возможную сумму НОД этих десяток.
  
-Решения принимаются до __24.10.2020__+===== ММ262 ===== 
 + ​**Конкурсная ​задача ММ262** (3 балла)
  
-Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых ​присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).+Решения принимаются до __20.03.2021__
  
-===== ММ259 =====+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней (по длине) стороне. ​
  
- ​**Конкурсная задача ММ259** (баллов)+Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла) 
 + 
 +Решения принимаются до __27.03.2021__ 
 + 
 +Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ 
 + 
 +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) 
 + 
 +===== ММ264 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ264** (4 балла) 
 + 
 +Решения принимаются до __04.04.2021__ 
 + 
 +Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
 + 
 +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
 + 
 +===== ММ265 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ265** (баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __11.04.2021__ 
 + 
 +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
 +  
 +===== ММ266 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __18.04.2021__ 
 + 
 +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных. \\ 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи. 
 + 
 +Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. 
 + 
 +===== ММ267 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __25.04.2021__ 
 + 
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? 
 + 
 +===== ММ268 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __02.05.2021__ 
 + 
 +Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?  
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +---- 
 + 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m. 
 + 
 +===== ММ269 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __11.05.2021__ 
 + 
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4? 
 + 
 +===== ММ270 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __22.05.2021__ 
 + 
 +Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. 
 + 
 +---- 
 + 
 +====== Разбор задач ====== 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ260 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
 + 
 +__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ 
 + 
 +Пусть ABC - некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​ 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm260_val.pdf|авторское}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ 
 +Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась,​ "​месть"​ удалась. 
 + 
 +Некоторые затруднения,​ возникшие у участников,​ оказались связаны с исследованием частного случая,​ когда исходный треугольник равнобедренный,​ но не равносторонний.  
 +Все марафонцы заметили,​ что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше,​ чем для разносторонних,​ не все правильно выяснили на сколько меньше. 
 + 
 +В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил,​ что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). 
 +Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  
 +Возможно,​ они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь. 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13\\ 
 +Денис Овчинников - 13\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 12\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11\\ 
 +Владислав Франк - 10\\ 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ259 =====
  
-Решения принимаются до __31.10.2020__+**Конкурсная ​задача ММ259** (8 баллов)
  
 Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​ Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​
Строка 49: Строка 179:
 исходному?​ исходному?​
  
-===== ММ260 =====+**Решение**
  
- **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)+Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]].
  
-Решения принимаются до __14.11.2020__+**Обсуждение** 
  
 +Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
 +Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
 +Например,​ Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор),​ привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.
  
-Задача ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231+Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью ​обоснования последнего пункта. 
 +За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все ​обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей ​и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). 
 +Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
  
-Пусть ABC – некоторый треугольник,​ точки KLлежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное числоотличное ​от и 1Треугольник ​KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник ​из условияможет быть равновелик и подобенно не равен исходному. 
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +В параметризации A(-1;0)B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре,​ подобному исходному ​соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...).  
-треугольник ​KLM подобен треугольнику ​ABC. +Наконец, треугольника с вершинами в центроидеортоцентре и центре описанной окружности ​не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера. 
-Сколько подобно вписанных ​треугольников ​может быть у произвольного треугольника?+ 
 +Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник ​с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) ​подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. 
 + 
 +Я полагаю,​ что никакой ​треугольник ​не может ​быть равен треугольнику ​с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек ​из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-)  
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 9\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Денис Овчинников - 8\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
 +Виктор Филимоненков - 5\\ 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **
  
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ​======+ 
 +===== ММ258 ​===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) 
 + 
 +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно,​ что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную. 
 + 
 +Естественные обобщения ​задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:​ 
 + 
 +"​Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется,​ что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:​ 
 +2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.  
 +Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  
 +Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​ 
 + 
 +Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ 
 +Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ 
 +Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ 
 +А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее.  
 +По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ 
 +При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ 
 +Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). 
 +А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел. 
 + 
 +Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела. 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 8\\ 
 +Олег Полубасов - 8\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
 +Денис Овчинников - 7\\ 
 +Виктор Филимоненков - 7\\ 
 +Анна Букина - 7. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 +---- 
 +PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата. 
 +---- 
  
 ===== ММ257 ===== ===== ММ257 =====
Строка 88: Строка 284:
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и Анатолия Казмерчука.+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
Строка 102: Строка 298:
 Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект.
  
-У тех, кто отозвался,​ задача затруднений не вызвала. Еинственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​  +У тех, кто отозвался,​ задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​  
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\+За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 Анатолий Казмерчук - 10\\ Анатолий Казмерчук - 10\\
 Константин Шамсутдинов - 9\\ Константин Шамсутдинов - 9\\
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2020/12/23 18:36 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006