Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2017/10/21 18:18]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Продолжается **23-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"**. Окажется ли этот сон кошмарным, скоро узнаем.
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).
+Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
-Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
@@ Строка 33: / Строка 30: @@
 ====== Текущие задачи ======
-=====Терминология ММ228-230=====
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
-{{:marathon:mm228-230.png?200|}}
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].
 ----
+**На данный момент отсутствуют.**
-===== ММ228 =====
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)
-Решения принимаются до __27.10.2017__
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
 ----
-===== ММ229 =====
+====== Разбор задач ======
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)
-Решения принимаются до __03.11.2017__
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\
-) количество прямых;\\
-) количество элементарных многоугольников:\\
-) количество выпуклых вершин;\\
-) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\
-) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\
-) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\
-) количество обратных вершин;\\
-) количество впадин;\\
-) количество сторон внешнего контура?
-Примечание: Вася – умный.
 ----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-===== ММ230 =====
-**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2017__
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
 ----
-====== Разбор задач ======
-----
-===== ММ227 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов)
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\
-Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\
-Найти наименьшее слабое число.\\
-Доказать, что слабых чисел бесконечно много.
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm227-2_ariadna.pdf|Валентины Колыбасовой}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_227.pdf|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:mm227_fiviol.pdf|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm227_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}.
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
 **Обсуждение**
-Я не обнаружил никаких следов ММ227 в OEIS. Планирую исправить это упущение. При этом интересны не сила или слабость тех или иных наборов простых множителей, сравнение силы сильных.
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Этот момент не нашел своего выражения в присланных решениях. Придется отдуваться ведущему.\\
-Рассмотрим, например, наиболее простой класс сильных чисел - степени простых.
-Для каждого p уравнение x = k*sopf(x) разрешимо. При этом количество решений зависит только от p. Таким образом, возникает любопытное разбиение всех простых числел на классы:\\
-К классу 1 относятся простые числа 2, 61, 97, 113, 151, 173...\\
-К классу 2 - 3, 5, 17, 29, 41, 53, 73, 79...\\
-К классу 3 - 7, 11, 13, 23, 37, 47, 89...\\
-К классу 4 - 19, 31, 43, 67, 103, 131...\\
-К классу 5 - 71, 179...\\
-Естественно возникает вопрос о бесконечности классов для каждого натуральноо числа.
-Более тонок вопрос об асимтотической плотности классов.
-Задача ММ227 понравилась участникам. Даже если исключить мнение марафонцев, оценивающих задачи по однобалльной шкале, оценка останется высокой :-)
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Такая ситуация весьма редка. Обычно, при достаточном количестве присланных решений палитра вкусовых предпочтений достаочно широка.
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Разброс в призовых баллах тоже не слишком велик. Мне показалось недостаточно строгим обоснование слабости числа 46 Евгением Гужавиным. Это нашло отражение в оценке. Если Евгений докажет мне, что это я, а не он чего-то упустил готов пересмотреть его оценку.
 **Награды**
-За решение задачи ММ227 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Олег Полубасов - 9;\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
-Анатолий Казмерчук - 8;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
-Владислав Франк, Владимир Дорофеев, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова и Тимофей Игнатьев - по 7;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
-Евгений Гужавин - 6.
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-**Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла**
 ----
-===== ММ226 =====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная зхадача ММ226** (5 баллов)
-Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?
-[[problem 226|Решение задачи ММ226]]
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm226_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_226.pdf|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:mm226_frank.pdf|Владислава Франка}} и {{:marathon:mm226-guzhavin.pdf|Евгения Гужавина}}.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-На ММ226 получено рекордное для нынешнего конкурса (хотя и скромное) количество ответов - 9. (Одно решение не оценено призовыми баллами.)
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Поведаю небольшую мистическую историю случившуюся с ведущим при составлении этой задачи.\\
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-Нет, нет, инопланетяне меня не похищали. Но мне "удалось" показать, что счастливое число не может быть степенью простого. Я нашел поистине замечательное доказательство этого утверждения, но поля...
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-Впрочем, про поля - это все ля-ля тополя. Поля тут ни при чем. Просто "доказательство" было настолько простым, что я не стал его записывать, уверенный, что воспроизведу его в любой момент.
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Однако я не смог сделать это уже через полтора месяца, по получении третьего ответа (до этого были один неверный и один - с известным мне числом $134^7$), являвшегося, к моему изумлению, степенью простого числа.
 **Награды**
-За решение задачи ММ226 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Олег Полубасов - 9;\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-Анатолий Казмерчук - 8;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-Евгений Гужавин - 7;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Владислав Франк и Владимир Дорофеев - по 6;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
-Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Дмитрий Курашкин и Тимофей Игнатьев - по 5.
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-=====ММ225=====
+===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов)
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня.
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-[[problem 225|Решение задачи ММ225]]
 ----
-=====ММ224=====
-**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов)
-В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи  -  20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.
+===== ММ267 =====
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-[[problem 224|Решение задачи ММ224]]
 ----
+===== ММ266 =====
-=====ММ223=====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов)
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Рассмотрим две задачки.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+----
+===== ММ265 =====
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Примечание: Был ли журнал электронным – не важно.  Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать  только оценки 2, 3, 4, 5
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-[[problem 223|Решение задачи ММ223]]
 ----
+===== ММ264 =====
-=====ММ222=====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ222** (6 баллов)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-[[problem 222|Решение задачи ММ222]]
 ----
-=====ММ221=====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-**Конкурсная задача ММ221** (4 балла)
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ?
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 221|Решение задачи ММ221]]
 ----
-=====ММ220=====
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-[[problem 220|Решение задачи ММ220]]
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~